Analysis Beispiele

$5^{x} + 5^{y} = 10$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (5^{x} + 5^{y}) = \frac{d}{d x} (10)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5^{x} + 5^{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [5^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [5^{y}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [5^{y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5^{y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 5^{x}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y'$

Schritt 3

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y'$ um.

$5^{x} \ln (5) + y' \cdot (5^{y} \ln (5)) = 0$

Schritt 5.1.2

Stelle $y'$ und $5^{y}$ um.

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \cdot (y' \ln (5)) = 0$

Schritt 5.1.3

Stelle $5^{x} \ln (5)$ und $5^{y} \cdot y' \ln (5)$ um.

$5^{y} \cdot (y' \ln (5)) + 5^{x} \ln (5) = 0$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $5^{y} \cdot (y' \ln (5)) + 5^{x} \ln (5)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Entferne die Klammern.

$5^{y} y' \ln (5) + 5^{x} \ln (5) = 0$

Schritt 5.2.1.2

Stelle die Faktoren in $5^{y} y' \ln (5) + 5^{x} \ln (5)$ um.

$y' \ln (5) \cdot 5^{y} + \ln (5) \cdot 5^{x} = 0$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$y' \ln (5) + \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} + 0$

Schritt 5.4

Addiere $- 5^{y} - 5^{x}$ und $0$ .

$y' \ln (5) + \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x}$

Schritt 5.5

Subtrahiere $\ln (5)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$ durch $\ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$ durch $\ln (5)$ .

$\frac{y' \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 5.6.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 5.6.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 5.6.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 5.6.3.1.3.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} - 1$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} - 1$