Analysis Beispiele

$\frac{x}{4} \arcsin (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{x}{4}$ und $\arcsin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \arcsin (x)}{4}]$

Schritt 1.2

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x \arcsin (x)}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x \arcsin (x)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x \arcsin (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \arcsin (x)$ .

$\frac{1}{4} (x \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\arcsin (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{4} (x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \cdot 1)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\arcsin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{4} \arcsin (x)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{x}{4 \sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{4} \arcsin (x)$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} \arcsin (x) + \frac{x}{4 \sqrt{1 - x^{2}}}$