Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 1 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 1 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 2.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Schritt 2.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Schritt 2.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} u^{- 2} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - u^{- 1}]_{1}^{1 + t^{2}}$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- u^{- 1}]_{1}^{1 + t^{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{1}^{1 + t^{2}}}{2}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $- u^{- 1}$ bei $1 + t^{2}$ und $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 1^{- 1}}{2}$

Schritt 8.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{- ({(1 + t^{2})}^{- 1}) + 1}{2}$

Schritt 9.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$lim_{t \to \infty} \frac{- ({(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)}{2}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- ({(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{- ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{2}$

Schritt 9.4

Schreibe $- ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ als $- 1 ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ um.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{2}$

Schritt 9.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to \infty} - \frac{{(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{2}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 10.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- lim_{t \to \infty} \frac{{(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{2}$

Schritt 10.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1$

Schritt 10.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Schritt 10.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} \frac{1}{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Schritt 10.5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{1 + t^{2}}$ $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Schritt 10.6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 10.6.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

Schritt 10.6.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 10.6.2.3

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 10.6.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Schritt 10.6.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$