Analysis Beispiele

$\int \frac{4 x^{3} - 8 x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Schritt 3

Multipliziere $(4 x^{3} - 8 x^{2} + 1) x^{- 2}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (4 x^{3} - 8 x^{2}) x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 4 x^{3} x^{- 2} - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 x^{3 - 2} - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\int 4 x^{1} - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.5

Vereinfache.

$\int 4 x - 8 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 x - 8 x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.7

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\int 4 x - 8 x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int 4 x - 8 \cdot 1 + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\int 4 x - 8 + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$\int 4 x - 8 + x^{- 2} d x$

Schritt 3.11

Bewege $- 8$ .

$\int 4 x + x^{- 2} - 8 d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 x d x + \int x^{- 2} d x + \int - 8 d x$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x d x + \int x^{- 2} d x + \int - 8 d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x^{- 2} d x + \int - 8 d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x^{- 1} + C + \int - 8 d x$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x^{- 1} + C + \int - 8 d x$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x^{- 1} + C - 8 x + C$

Schritt 10

Vereinfache.

$2 x^{2} - \frac{1}{x} - 8 x + C$