Analysis Beispiele

$y = (x^{3} - 2) \sqrt{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [(x^{3} - 2) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3} - 2$ und $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$(x^{3} - 2) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$(x^{3} - 2) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$(x^{3} - 2) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$(x^{3} - 2) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$(x^{3} - 2) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(x^{3} - 2) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(x^{3} - 2) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$(x^{3} - 2) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(x^{3} - 2) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$(x^{3} - 2) (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 8.3

Bringe ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x^{3} - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{3} - 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{3} - 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{3} - 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 12

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$(x^{3} - 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 12.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$(x^{3} - 2) \frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 12.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$(x^{3} - 2) \frac{x \cdot 2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 12.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x^{3} - 2) \frac{2 \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 12.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x^{3} - 2) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 12.6

Forme den Ausdruck um.

$(x^{3} - 2) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

Schritt 13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x^{3} - 2) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(x^{3} - 2) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 15

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{3} - 2) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 0)$

Schritt 16

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 16.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$(x^{3} - 2) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

Schritt 16.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{3} - 2) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Stelle die Terme um.

$(x^{3} - 2) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $x^{3} - 2$ mit $\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(x^{3} - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 17.3

Um $3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(x^{3} - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x^{3} - 2) x + 3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.5.1

Faktorisiere $x$ aus $(x^{3} - 2) x + 3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 17.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $(x^{3} - 2) x$ heraus.

$\frac{x (x^{3} - 2) + 3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{x (x^{3} - 2) + x (3 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{3} - 2) + x (3 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5.2

Multipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 17.5.2.1

Bewege ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x {(x^{2} + 1)}^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5.3

Vereinfache $3 x {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5.5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 17.5.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 (x^{2} x) + 3 x \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 17.5.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 (x^{2} x^{1}) + 3 x \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x^{2 + 1} + 3 x \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x^{3} + 3 x \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x^{3} + 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5.7

Addiere $x^{3}$ und $3 x^{3}$ .

$\frac{x (4 x^{3} - 2 + 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5.8

Stelle die Terme um.

$\frac{x (4 x^{3} + 3 x - 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17.5.9

Faktorisiere $4 x^{3} + 3 x - 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 17.5.9.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 17.5.9.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

Schritt 17.5.9.3

Setze $0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 17.5.9.3.1

Setze $0.5$ in das Polynom ein.

$4 \cdot {0.5}^{3} + 3 \cdot 0.5 - 2$

Schritt 17.5.9.3.2

Potenziere $0.5$ mit $3$ .

$4 \cdot 0.125 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Schritt 17.5.9.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $0.125$ .

$0.5 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Schritt 17.5.9.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $0.5$ .

$0.5 + 1.5 - 2$

Schritt 17.5.9.3.5

Addiere $0.5$ und $1.5$ .

$2 - 2$

Schritt 17.5.9.3.6

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0$

Schritt 17.5.9.4

Da $0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{3} + 3 x - 2}{2 x - 1}$

Schritt 17.5.9.5

Dividiere $4 x^{3} + 3 x - 2$ durch $2 x - 1$ .

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Schritt 17.5.9.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Schritt 17.5.9.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$

Schritt 17.5.9.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 17.5.9.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 17.5.9.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Schritt 17.5.9.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 17.5.9.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 17.5.9.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

Schritt 17.5.9.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{2} - x$

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Schritt 17.5.9.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$

Schritt 17.5.9.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

Schritt 17.5.9.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

Schritt 17.5.9.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							+	$4 x$	-	$2$

Schritt 17.5.9.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x - 2$

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$

Schritt 17.5.9.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$
										$0$

Schritt 17.5.9.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} + x + 2$

Schritt 17.5.9.6

Schreibe $4 x^{3} + 3 x - 2$ als eine Menge von Faktoren.

$\frac{x ((2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2))}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{x (2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$