Analysis Beispiele

$\int_{0}^{a} \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{4} + x^{4}}} d x$

Schritt 1

Sei $u = a^{4} + x^{4}$ . Dann ist $d u = 4 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = a^{4} + x^{4}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $a^{4} + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{4} + x^{4}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a^{4} + x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.3

Da $a^{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a^{4}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = a^{4} + x^{4}$ ein.

$u_{lower} = a^{4} + 0^{4}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = a^{4} + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $a^{4}$ und $0$ .

$u_{lower} = a^{4}$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = a^{4} + x^{4}$ ein.

$u_{upper} = a^{4} + a^{4}$

Schritt 1.5

Addiere $a^{4}$ und $a^{4}$ .

$u_{upper} = 2 a^{4}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = a^{4}$

$u_{upper} = 2 a^{4}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Schritt 2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{a^{4}}^{2 a^{4}}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $2 a^{4}$ und $a^{4}$ .

$\frac{1}{4} ((2 {(2 a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 a^{4}$ heraus.

$\frac{1}{4} (2 {(2 (a^{4}))}^{\frac{1}{2}} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.2

Wende die Produktregel auf $2 (a^{4})$ an.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} {(a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{4 (\frac{1}{2})}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 (2) \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.4

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + 1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1 + 2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.8

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.9

Multipliziere die Exponenten in ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.2.9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{4 (\frac{1}{2})})$

Schritt 6.2.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 (2) \frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2}) + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Schritt 7.2

Multipliziere $\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2})$ .

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $2^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4} a^{2} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4}$ und $a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (- 2 a^{2})$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 a^{2}$ heraus.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- a^{2}))$

Schritt 7.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- a^{2}))$

Schritt 7.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2} (- a^{2})$

Schritt 7.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2}$