Analysis Beispiele

$y = x^{3} + 3 x^{2} + 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{3} + 3 x^{2} + 1)$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 3 x^{2} + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{3}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} x' + 3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$3 x^{2} x' + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} x' + 3 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$3 x^{2} x' + 3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$3 x^{2} x' + 3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 x^{2} x' + 6 x x' + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$3 x^{2} x' + 6 x x' + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $3 x^{2} x' + 6 x x'$ und $0$ .

$3 x^{2} x' + 6 x x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 3 x^{2} x' + 6 x x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $3 x^{2} x' + 6 x x' = 1$ um.

$3 x^{2} x' + 6 x x' = 1$

Schritt 5.2

Faktorisiere $3 x x'$ aus $3 x^{2} x' + 6 x x'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3 x x'$ aus $3 x^{2} x'$ heraus.

$3 x x' x + 6 x x' = 1$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $3 x x'$ aus $6 x x'$ heraus.

$3 x x' x + 3 x x' \cdot 2 = 1$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $3 x x'$ aus $3 x x' x + 3 x x' \cdot 2$ heraus.

$3 x x' (x + 2) = 1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x x' (x + 2) = 1$ durch $3 x (x + 2)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x x' (x + 2) = 1$ durch $3 x (x + 2)$ .

$\frac{3 x x' (x + 2)}{3 x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x x' (x + 2)}{3 x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x x' (x + 2)}{x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x x' (x + 2)}{x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$