Analysis Beispiele

$x \sqrt{1 - x}$

Schritt 1

Schreibe $x \sqrt{1 - x}$ als Funktion.

$f (x) = x \sqrt{1 - x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x \sqrt{1 - x} d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sqrt{1 - x}$ .

$x (- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$x (- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 5.2

Kombiniere $x$ und $\frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x ({(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- \frac{2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 8

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 8.1.2

Differenziere.

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Schritt 8.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 8.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 8.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 8.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 8.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 8.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Schritt 11

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Schritt 11.2

Schreibe $- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ als $- \frac{2}{3} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ um.

$- \frac{2}{3} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 11.3

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Schritt 11.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 11.3.2

Kombiniere ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{x \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 11.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot x)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 11.3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 11.3.5

Kombiniere $u^{\frac{5}{2}}$ und $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

Schritt 11.3.6

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{2 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 2)}{3 \cdot 5} + C$

Schritt 11.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5} + C$

Schritt 11.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 11.3.9

Um $- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 11.3.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.3.10.1

Mutltipliziere $\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 11.3.10.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 11.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 11.3.12

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$\frac{- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$\frac{- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{15} (- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x \sqrt{1 - x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{15} (- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$