Analysis Beispiele

$y = \sqrt{\sqrt{3 x} + 8}$

Schritt 1

Schreibe die rechte Seite mit rationalen Exponenten neu.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x}$ als ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \sqrt{{(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8}$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8}$ als ${({(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = {({(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({({(3 x)}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{({(3 (x))}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Wende die Produktregel auf $3 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Schritt 4.7.3

Bringe ${(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8]$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 4.9

Da $3^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 4.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 4.11

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 4.12

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 4.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 4.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 4.14.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 4.15

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.15.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 4.15.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 4.15.3

Kombiniere $3^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 4.15.4

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 4.16

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Schritt 4.17

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.17.1

Addiere $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.17.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.17.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.17.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.17.3.2

Stelle die Terme um.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}} {(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$