Analysis Beispiele

$y = \sec^{2} (x)$ , $y = 8 \cos (x)$ , $- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{3}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$

Schritt 1.2

Löse $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ durch $\sec^{2} (x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ durch $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 1.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec^{2} (x)$ .

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Schritt 1.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 1.2.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 1.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.1.3.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec^{2} (x)$ heraus.

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec (x) \sec (x)}$

Schritt 1.2.1.3.2

Separiere Brüche.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (x)}$

Schritt 1.2.1.3.3

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Schritt 1.2.1.3.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos (x) \cos (x))$

Schritt 1.2.1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.3.5.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Schritt 1.2.1.3.5.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Schritt 1.2.1.3.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} {\cos (x)}^{1 + 1}$

Schritt 1.2.1.3.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 1.2.1.3.6

Separiere Brüche.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

Schritt 1.2.1.3.7

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \cos^{2} (x)$

Schritt 1.2.1.3.8

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$1 = \frac{8}{1} (1 \cos (x)) \cos^{2} (x)$

Schritt 1.2.1.3.9

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 = \frac{8}{1} \cos (x) \cos^{2} (x)$

Schritt 1.2.1.3.10

Multipliziere $\cos (x)$ mit $\cos^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.3.10.1

Bewege $\cos^{2} (x)$ .

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos (x))$

Schritt 1.2.1.3.10.2

Mutltipliziere $\cos^{2} (x)$ mit $\cos (x)$ .

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Schritt 1.2.1.3.10.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x))$

Schritt 1.2.1.3.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 = \frac{8}{1} {\cos (x)}^{2 + 1}$

Schritt 1.2.1.3.10.3

Addiere $2$ und $1$ .

$1 = \frac{8}{1} \cos^{3} (x)$

Schritt 1.2.1.3.11

Dividiere $8$ durch $1$ .

$1 = 8 \cos^{3} (x)$

Schritt 1.2.2

Schreibe die Gleichung als $8 \cos^{3} (x) = 1$ um.

$8 \cos^{3} (x) = 1$

Schritt 1.2.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 \cos^{3} (x) - 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Schreibe $8 \cos^{3} (x)$ als ${(2 \cos (x))}^{3}$ um.

${(2 \cos (x))}^{3} - 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

${(2 \cos (x))}^{3} - 1^{3} = 0$

Schritt 1.2.4.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 2 \cos (x)$ und $b = 1$ .

$(2 \cos (x) - 1) ({(2 \cos (x))}^{2} + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 1.2.4.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.4.1

Wende die Produktregel auf $2 \cos (x)$ an.

$(2 \cos (x) - 1) (2^{2} \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 1.2.4.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 1.2.4.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1^{2}) = 0$

Schritt 1.2.4.4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$

Schritt 1.2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0 + y = 8 \cos (x)$

Schritt 1.2.6

Setze $2 \cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $\cos (x)$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $2 \cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse $2 \cos (x) - 1 = 0$ nach $\cos (x)$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (x) = 1$

Schritt 1.2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.6.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.7

Setze $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $\cos (x)$ auf.

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Schritt 1.2.7.1

Setze $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ gleich $0$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$

Schritt 1.2.7.2

Löse $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ nach $\cos (x)$ auf.

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Schritt 1.2.7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 8 \cos (x)$

Schritt 1.2.7.2.2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = 2$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $\cos (x)$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4} + y = 8 \cos (x)$

Schritt 1.2.7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Schritt 1.2.7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.7.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 1.2.7.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 1.2.7.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.2.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Schritt 1.2.7.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.7.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 1.2.7.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 1.2.7.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 1.2.7.2.4.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 1.2.7.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{3}$ heraus.

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 1.2.7.2.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ heraus.

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 1.2.7.2.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 1.2.7.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Schritt 1.2.7.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.7.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.7.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 1.2.7.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 1.2.7.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 1.2.7.2.5.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 1.2.7.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{3}$ heraus.

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 1.2.7.2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ heraus.

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 1.2.7.2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 1.2.7.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 1.2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 1.2.9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4} + y = 8 \cos (x)$

Schritt 1.2.10

Löse in $\cos (x) = \frac{1}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.10.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 1.2.10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.10.2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.10.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.10.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 1.2.10.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.10.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.10.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 1.2.10.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 1.2.10.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.10.4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 1.2.10.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 1.2.10.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.2.10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.2.10.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.2.10.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.2.11

Löse in $\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.11.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$

Schritt 1.2.11.2

Der inverse Cosinus von $\arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$ ist nicht definiert.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

Schritt 1.2.12

Löse in $\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.12.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$

Schritt 1.2.12.2

Der inverse Cosinus von $\arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$ ist nicht definiert.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

Schritt 1.2.13

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = \frac{π}{3} + 2 π n$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{3} + 2 π n$ .

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Schritt 1.3.2

Entferne die Klammern.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Schritt 1.4.2

Entferne die Klammern.

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Schritt 1.5

Liste alle Lösungen auf.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- \frac{π}{3}$ und $\frac{π}{3}$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - (\sec^{2} (x)) d x$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 3.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ um.

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 3.3.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$8 \cos (x) - \sec^{2} (x)$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \sec^{2} (x) d x$

Schritt 3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Schritt 3.5

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Schritt 3.6

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 3.8

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

Schritt 3.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.9.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.9.1.1

Berechne $\sin (x)$ bei $\frac{π}{3}$ und $- \frac{π}{3}$ .

$8 ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

Schritt 3.9.1.2

Berechne $\tan (x)$ bei $\frac{π}{3}$ und $- \frac{π}{3}$ .

$8 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

Schritt 3.9.2

Vereinfache.

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Schritt 3.9.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

Schritt 3.9.2.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Schritt 3.9.3

Vereinfache.

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Schritt 3.9.3.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Schritt 3.9.3.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Schritt 3.9.3.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Schritt 3.9.3.4

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 3.9.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Schritt 3.9.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $1$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Schritt 3.9.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Schritt 3.9.3.6

Addiere $\sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$8 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Schritt 3.9.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.9.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 (4) \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Schritt 3.9.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 4 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Schritt 3.9.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (2 \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Schritt 3.9.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Schritt 3.9.3.9

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (\frac{5 π}{3}))$

Schritt 3.9.3.10

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im vierten Quadranten negativ ist.

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \tan (\frac{π}{3}))$

Schritt 3.9.3.11

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \sqrt{3})$

Schritt 3.9.3.12

Multipliziere $- - \sqrt{3}$ .

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Schritt 3.9.3.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + 1 \sqrt{3})$

Schritt 3.9.3.12.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + \sqrt{3})$

Schritt 3.9.3.13

Addiere $\sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3})$

Schritt 3.9.3.14

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$8 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Schritt 3.9.3.15

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $8 \sqrt{3}$ .

$6 \sqrt{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$6 \sqrt{3}$

Dezimalform:

$10.39230484 \dots$

Schritt 5