Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} π {(1 - x^{2})}^{2} d x$

Schritt 1

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $π$ aus dem Integral.

$π \int_{0}^{1} {(1 - x^{2})}^{2} d x$

Schritt 2

Multipliziere ${(1 - x^{2})}^{2}$ aus.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(1 - x^{2})}^{2}$ als $(1 - x^{2}) (1 - x^{2})$ um.

$π \int_{0}^{1} (1 - x^{2}) (1 - x^{2}) d x$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$π \int_{0}^{1} 1 (1 - x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}) d x$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}) d x$

Schritt 2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}) d x$

Schritt 2.5

Bewege $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) d x$

Schritt 2.6

Bewege $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + 1 x^{2} x^{2} d x$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{2} x^{2} d x$

Schritt 2.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{2 + 2} d x$

Schritt 2.13

Addiere $2$ und $2$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{4} d x$

Schritt 2.14

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - 2 x^{2} + x^{4} d x$

Schritt 2.15

Stelle $- 2 x^{2}$ und $x^{4}$ um.

$π \int_{0}^{1} 1 + x^{4} - 2 x^{2} d x$

Schritt 2.16

Bewege $1$ .

$π \int_{0}^{1} x^{4} - 2 x^{2} + 1 d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$π (\int_{0}^{1} x^{4} d x + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Schritt 6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1})$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}$ und $x]_{0}^{1}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Schritt 10.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Berechne $\frac{x^{5}}{5} + x$ bei $1$ und $0$ .

$π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Schritt 10.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3

Vereinfache.

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Schritt 10.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.4

Addiere $1$ und $5$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 10.2.3.6.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 (0)}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0}{1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.6.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$π (\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.7

Addiere $0$ und $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$π (\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.9

Addiere $\frac{6}{5}$ und $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 10.2.3.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

Schritt 10.2.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 10.2.3.12.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Schritt 10.2.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Schritt 10.2.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Schritt 10.2.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

Schritt 10.2.3.12.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0))$

Schritt 10.2.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0))$

Schritt 10.2.3.14

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3}))$

Schritt 10.2.3.15

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$π (\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3})$

Schritt 10.2.3.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$π (\frac{6}{5} - \frac{2}{3})$

Schritt 10.2.3.17

Um $\frac{6}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Schritt 10.2.3.18

Um $- \frac{2}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Schritt 10.2.3.19

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.2.3.19.1

Mutltipliziere $\frac{6}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Schritt 10.2.3.19.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Schritt 10.2.3.19.3

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Schritt 10.2.3.19.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15})$

Schritt 10.2.3.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π \frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

Schritt 10.2.3.21

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.3.21.1

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$π \frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

Schritt 10.2.3.21.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$π \frac{18 - 10}{15}$

Schritt 10.2.3.21.3

Subtrahiere $10$ von $18$ .

$π \frac{8}{15}$

Schritt 10.2.3.22

Kombiniere $π$ und $\frac{8}{15}$ .

$\frac{π \cdot 8}{15}$

Schritt 10.2.3.23

Bringe $8$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{8 π}{15}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{8 π}{15}$

Dezimalform:

$1.67551608 \dots$

Schritt 12