Analysis Beispiele

$lim_{θ \to - 1} \frac{θ + 1}{- 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{θ \to - 1} θ + 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{θ \to - 1} θ + lim_{θ \to - 1} 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $θ$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{θ \to - 1} θ + 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $- 1$ für $θ$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Schritt 1.1.2.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{- lim_{θ \to - 1} 2 θ^{2} - lim_{θ \to - 1} 6 θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

Schritt 1.1.3.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$\frac{0}{- 2 lim_{θ \to - 1} θ^{2} - lim_{θ \to - 1} 6 θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $θ^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{- 2 {(lim_{θ \to - 1} θ)}^{2} - lim_{θ \to - 1} 6 θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

Schritt 1.1.3.4

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$\frac{0}{- 2 {(lim_{θ \to - 1} θ)}^{2} - 6 lim_{θ \to - 1} θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

Schritt 1.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $θ$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{0}{- 2 {(lim_{θ \to - 1} θ)}^{2} - 6 lim_{θ \to - 1} θ - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $θ$ .

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Schritt 1.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $- 1$ für $θ$ .

$\frac{0}{- 2 {(- 1)}^{2} - 6 lim_{θ \to - 1} θ - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $- 1$ für $θ$ .

$\frac{0}{- 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.7.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{- 2 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.7.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{0}{- 2 - 6 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.7.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{0}{- 2 + 6 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{- 2 + 6 - 4}$

Schritt 1.1.3.7.2

Addiere $- 2$ und $6$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Schritt 1.1.3.7.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.7.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{θ \to - 1} \frac{θ + 1}{- 2 θ^{2} - 6 θ - 4} = lim_{θ \to - 1} \frac{\frac{d}{d θ} [θ + 1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{θ \to - 1} \frac{\frac{d}{d θ} [θ + 1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $θ + 1$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [1]$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1 + \frac{d}{d θ} [1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Schritt 1.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $θ$ gleich $0$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 θ^{2} - 6 θ - 4$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2}]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $- 2 θ^{2}$ nach $θ$ gleich $- 2 \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 2 \frac{d}{d θ} [θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 2 (2 θ) + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Schritt 1.3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d θ} [- 6 θ]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $- 6 θ$ nach $θ$ gleich $- 6 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Schritt 1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Schritt 1.3.8.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Schritt 1.3.9

Da $- 4$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $θ$ gleich $0$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 + 0}$

Schritt 1.3.10

Addiere $- 4 θ - 6$ und $0$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{θ \to - 1} 1}{lim_{θ \to - 1} - 4 θ - 6}$

Schritt 2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $θ$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{1}{lim_{θ \to - 1} - 4 θ - 6}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $θ$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{1}{- lim_{θ \to - 1} 4 θ - lim_{θ \to - 1} 6}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $θ$ ist.

$\frac{1}{- 4 lim_{θ \to - 1} θ - lim_{θ \to - 1} 6}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $θ$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{1}{- 4 lim_{θ \to - 1} θ - 1 \cdot 6}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $θ$ durch Einsetzen von $- 1$ für $θ$ .

$\frac{1}{- 4 \cdot - 1 - 1 \cdot 6}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4 - 1 \cdot 6}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{1}{4 - 6}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $6$ von $4$ .

$\frac{1}{- 2}$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.5$