Analysis Beispiele

$y = \cos (2 x - 6)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x - 6$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 6$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 6$ .

$- \sin (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- \sin (2 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (2 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \sin (2 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 1.2.5

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \sin (2 x - 6) (2 + 0)$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$- \sin (2 x - 6) \cdot 2$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = - 2 \sin (2 x - 6)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sin (2 x - 6)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x - 6$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 6$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$- 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 6$ .

$- 2 (\cos (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.3.5

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (2 + 0)$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) \cdot 2$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x - 6)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \cos (2 x - 6)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - 6)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - 6)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x - 6$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 6$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 6$ .

$- 4 (- \sin (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$4 (\sin (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$4 \sin (2 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin (2 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \sin (2 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 \sin (2 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.3.6

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \sin (2 x - 6) (2 + 0)$

Schritt 3.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$4 \sin (2 x - 6) \cdot 2$

Schritt 3.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f''' (x) = 8 \sin (2 x - 6)$