Analysis Beispiele

$x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.2

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3

Da $\frac{1}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{x}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Schritt 2.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$0 + 0 + x + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$0 + 0 + x + \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 + 0 + x - y^{- 2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 0 + x - y^{- 2} + 2 y$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 0 + x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

Schritt 5.2.2

Addiere $0$ und $x$ .

$x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$x + 2 y - \frac{1}{y^{2}}$