Analysis Beispiele

$\frac{4}{3 \sqrt[5]{x^{3}}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{5}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{3}{5}}}]$

Schritt 2

Da $\frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{3 x^{\frac{3}{5}}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}]$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ als ${(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ um.

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}]$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5} \cdot - 1}]$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $\frac{3}{5} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $- 1$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{5}}]$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{5}}]$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{5}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{3}{5}$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} - 1})$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 3 - 5}{5}})$

Schritt 8.2

Subtrahiere $5$ von $- 3$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 8}{5}})$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{8}{5}})$

Schritt 10

Kombiniere $x^{- \frac{8}{5}}$ und $\frac{3}{5}$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5})$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5}$ .

$- \frac{4 (x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3)}{3 \cdot 5}$

Schritt 12

Multipliziere.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$- \frac{12 x^{- \frac{8}{5}}}{3 \cdot 5}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- \frac{12 x^{- \frac{8}{5}}}{15}$

Schritt 12.3

Bringe $x^{- \frac{8}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{12}{15 x^{\frac{8}{5}}}$

Schritt 13

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$- \frac{3 (4)}{15 x^{\frac{8}{5}}}$

Schritt 14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $3$ aus $15 x^{\frac{8}{5}}$ heraus.

$- \frac{3 (4)}{3 (5 x^{\frac{8}{5}})}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \cdot 4}{3 (5 x^{\frac{8}{5}})}$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4}{5 x^{\frac{8}{5}}}$