Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} d x$

Schritt 3

Sei $u = 2 x - 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 6.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 6.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 6.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 8.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $u^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 1$ .

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ .

$F (x) =$ ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + C$