Analysis Beispiele

$x y = 8$ , $x = 1$ and $x = 5$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = \frac{8}{x}$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{x}$ an.

$V = \frac{8^{2}}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$V = \frac{64}{x^{2}}$

Schritt 3

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $64$ aus dem Integral.

$V = π (64 \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Bringe $64$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$V = 64 π - x^{- 1}]_{1}^{5}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $- x^{- 1}$ bei $5$ und $1$ .

$V = 64 π ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

Schritt 6.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + 1)$

Schritt 6.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = 64 π (\frac{- 1 + 5}{5})$

Schritt 6.2.5

Addiere $- 1$ und $5$ .

$V = 64 π (\frac{4}{5})$

Schritt 6.2.6

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $64$ .

$V = \frac{4 \cdot 64}{5} \cdot π$

Schritt 6.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$V = \frac{256}{5} \cdot π$

Schritt 6.2.8

Kombiniere $\frac{256}{5}$ und $π$ .

$V = \frac{256 π}{5}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{256 π}{5}$

Dezimalform:

$V = 160.84954386 \dots$

Schritt 8