Analysis Beispiele

${(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{4}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = e^{3 x} + \sin (2 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $e^{3 x} + \sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + \sin (2 x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + \sin (2 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $e^{3 x} + \sin (2 x)$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + \sin (2 x)]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{3 x} + \sin (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Schritt 4.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $2 x$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 5.2

Die Ableitung von $\sin (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\cos (u_{3})$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 x$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) \cdot 2)$

Schritt 6.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + 2 \cos (2 x))$