Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x + 3$ , $[2, 8]$ , $n = 3$

Schritt 1

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{2}^{8} 2 x + 3 d x - \int_{2}^{8} 3 d x$

Schritt 2

Integriere, um die Fläche zwischen $2$ und $8$ zu ermitteln.

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Schritt 2.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{2}^{8} 2 x + 3 - (3) d x$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\int_{2}^{8} 2 x + 3 - 3 d x$

Schritt 2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 3 - 3$ .

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

$\int_{2}^{8} 2 x d x$

Schritt 2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{2}^{8} x d x$

Schritt 2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{8})$

Schritt 2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{8})$

Schritt 2.6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 2.6.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $8$ und $2$ .

$2 ((\frac{8^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.6.2.2.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$2 (\frac{64}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 2.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $2$ .

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Schritt 2.6.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$2 (\frac{2 \cdot 32}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 2.6.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.2.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 2.6.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 2.6.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{32}{1} - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 2.6.2.2.2.2.4

Dividiere $32$ durch $1$ .

$2 (32 - \frac{2^{2}}{2})$

Schritt 2.6.2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 (32 - \frac{4}{2})$

Schritt 2.6.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.6.2.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (32 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Schritt 2.6.2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.2.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (32 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Schritt 2.6.2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (32 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Schritt 2.6.2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (32 - \frac{2}{1})$

Schritt 2.6.2.2.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 (32 - 1 \cdot 2)$

Schritt 2.6.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (32 - 2)$

Schritt 2.6.2.2.6

Subtrahiere $2$ von $32$ .

$2 \cdot 30$

Schritt 2.6.2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $30$ .

$60$

Schritt 3