Analysis Beispiele

$\int_{0}^{4} (2 \sqrt{y} - y) d y$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{y} - y d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{y} d y + \int_{0}^{4} - y d y$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{4} \sqrt{y} d y + \int_{0}^{4} - y d y$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \int_{0}^{4} y^{\frac{1}{2}} d y + \int_{0}^{4} - y d y$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{\frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - y d y$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $y^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - y d y$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} y d y$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4})$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $4$ und $0$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Schritt 9.2.2

Berechne $\frac{y^{2}}{2}$ bei $4$ und $0$ .

$2 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 9.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.6

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 9.2.3.11.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$2 (\frac{16}{3} - 0) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (\frac{16}{3} + 0) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.13

Addiere $\frac{16}{3}$ und $0$ .

$2 (\frac{16}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.14

Kombiniere $2$ und $\frac{16}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.15

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.16

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 9.2.3.17.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.17.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{32}{3} - (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.17.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.3.18

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0}{2})$

Schritt 9.2.3.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 9.2.3.19.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 9.2.3.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.19.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 9.2.3.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 9.2.3.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0}{1})$

Schritt 9.2.3.19.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{32}{3} - (8 - 0)$

Schritt 9.2.3.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{32}{3} - (8 + 0)$

Schritt 9.2.3.21

Addiere $8$ und $0$ .

$\frac{32}{3} - 1 \cdot 8$

Schritt 9.2.3.22

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{32}{3} - 8$

Schritt 9.2.3.23

Um $- 8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 9.2.3.24

Kombiniere $- 8$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Schritt 9.2.3.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{32 - 8 \cdot 3}{3}$

Schritt 9.2.3.26

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.3.26.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$\frac{32 - 24}{3}$

Schritt 9.2.3.26.2

Subtrahiere $24$ von $32$ .

$\frac{8}{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{8}{3}$

Dezimalform:

$2.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{2}{3}$

Schritt 11