Analysis Beispiele

$\int \frac{3 \sin (2 x)}{4 \sin^{2} (x) - 4} d x$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Stelle $4 \sin^{2} (x)$ und $- 4$ um.

$\int \frac{3 \sin (2 x)}{- 4 + 4 \sin^{2} (x)} d x$

Schritt 1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4$ heraus.

$\int \frac{3 \sin (2 x)}{- 4 (1) + 4 \sin^{2} (x)} d x$

Schritt 1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $4 \sin^{2} (x)$ heraus.

$\int \frac{3 \sin (2 x)}{- 4 (1) - 4 (- \sin^{2} (x))} d x$

Schritt 1.4

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (1) - 4 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$\int \frac{3 \sin (2 x)}{- 4 (1 - \sin^{2} (x))} d x$

Schritt 2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{3 \sin (2 x)}{- 4 \cos^{2} (x)} d x$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\int \frac{3 \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{- 4 \cos^{2} (x)} d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{6 \sin (x) \cos (x)}{- 4 \cos^{2} (x)} d x$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $- 4$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\int \frac{2 (3 \sin (x) \cos (x))}{- 4 \cos^{2} (x)} d x$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \cos^{2} (x)$ heraus.

$\int \frac{2 (3 \sin (x) \cos (x))}{2 (- 2 \cos^{2} (x))} d x$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 (3 \sin (x) \cos (x))}{2 (- 2 \cos^{2} (x))} d x$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{- 2 \cos^{2} (x)} d x$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos (x)$ und $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $3 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\int \frac{\cos (x) (3 \sin (x))}{- 2 \cos^{2} (x)} d x$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- 2 \cos^{2} (x)$ heraus.

$\int \frac{\cos (x) (3 \sin (x))}{\cos (x) (- 2 \cos (x))} d x$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\cos (x) (3 \sin (x))}{\cos (x) (- 2 \cos (x))} d x$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{3 \sin (x)}{- 2 \cos (x)} d x$

Schritt 5

Separiere Brüche.

$\int \frac{3}{- 2} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

Schritt 6

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\int \frac{3}{- 2} \tan (x) d x$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{3}{2} \tan (x) d x$

Schritt 7.2

Kombiniere $\tan (x)$ und $\frac{3}{2}$ .

$\int - \frac{\tan (x) \cdot 3}{2} d x$

Schritt 7.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\tan (x)$ .

$\int - \frac{3 \tan (x)}{2} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{3 \tan (x)}{2} d x$

Schritt 9

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{3}{2} \int \tan (x) d x)$

Schritt 10

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$- \frac{3}{2} (\ln (| \sec (x) |) + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

$- \frac{3}{2} \ln (| \sec (x) |) + C$