Analysis Beispiele

$- x y + 1 + x^{2} = - 2 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- x y + 1 + x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 2 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x y + 1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (x y' + y) + 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (x y' + y) + 0 + 2 x$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (x y') - y + 0 + 2 x$

Schritt 2.4.2

Addiere $- x y' - y$ und $0$ .

$- x y' - y + 2 x$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$- x y' + 2 x - y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 2 y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- x y' + 2 x - y = - 2 y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $2 y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' + 2 x - y + 2 y' = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' - y + 2 y' = - 2 x$

Schritt 5.2.2

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' + 2 y' = - 2 x + y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- x y' + 2 y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- x y'$ heraus.

$y' (- x) + 2 y' = - 2 x + y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y'$ heraus.

$y' (- x) + y' \cdot 2 = - 2 x + y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- x) + y' \cdot 2$ heraus.

$y' (- x + 2) = - 2 x + y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x + 2) = - 2 x + y$ durch $- x + 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x + 2) = - 2 x + y$ durch $- x + 2$ .

$\frac{y' (- x + 2)}{- x + 2} = \frac{- 2 x}{- x + 2} + \frac{y}{- x + 2}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x + 2$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x + 2)}{- x + 2} = \frac{- 2 x}{- x + 2} + \frac{y}{- x + 2}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- x + 2} + \frac{y}{- x + 2}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x}{- x + 2} + \frac{y}{- x + 2}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 x + y}{- x + 2}$

Schritt 5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) + y}{- x + 2}$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- y)}{- x + 2}$

Schritt 5.4.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- y)$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x - y)}{- x + 2}$

Schritt 5.4.3.6

Schreibe $- (2 x - y)$ als $- 1 (2 x - y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- x + 2}$

Schritt 5.4.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) + 2}$

Schritt 5.4.3.8

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - 1 (- 2)}$

Schritt 5.4.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x - 2)}$

Schritt 5.4.3.10

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x - 2)}$

Schritt 5.4.3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x - 2)}$

Schritt 5.4.3.12

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 x - y}{x - 2}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x - 2}$