Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{1} \frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x + 2} d x$

Schritt 1

Dividiere $3 x^{2} + 2 x + 1$ durch $x + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$3 x$
	$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{2} + 6 x$

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$

Schritt 1.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$

Schritt 1.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$

Schritt 1.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$8$

Schritt 1.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x - 8$

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$8$

Schritt 1.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$8$
							+	$9$

Schritt 1.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int_{- 1}^{1} 3 x - 4 + \frac{9}{x + 2} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{1} 3 x d x + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Schritt 7

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x + 2} d x$

Schritt 8

Sei $u = x + 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Es sei $u = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 8.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 8.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 8.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x + 2$ ein.

$u_{lower} = - 1 + 2$

Schritt 8.3

Addiere $- 1$ und $2$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 8.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x + 2$ ein.

$u_{upper} = 1 + 2$

Schritt 8.5

Addiere $1$ und $2$ .

$u_{upper} = 3$

Schritt 8.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Schritt 8.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $- 1$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Schritt 10.2

Berechne $- 4 x$ bei $1$ und $- 1$ .

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Schritt 10.3

Berechne $\ln (| u |)$ bei $3$ und $1$ .

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.4.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{1 - 1}{2} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.4.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$3 (\frac{0}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$3 \frac{2 (0)}{2} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{0}{1}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.4.5.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0 - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.4.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$0 - 4 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.4.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$0 - 4 - 4 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.4.9

Subtrahiere $4$ von $- 4$ .

$0 - 8 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Schritt 10.4.10

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$- 8 + 9 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 11

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 8 + 9 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Schritt 12

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$- 8 + 9 \ln (\frac{3}{| 1 |})$

Schritt 12.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$- 8 + 9 \ln (\frac{3}{1})$

Schritt 12.3

Dividiere $3$ durch $1$ .

$- 8 + 9 \ln (3)$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 8 + 9 \ln (3)$

Dezimalform:

$1.88751059 \dots$

Schritt 14