Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{arccot (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{arccot (x)}$ als ${arccot (x)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{arccot (x)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = arccot (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $arccot (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [arccot (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [arccot (x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $arccot (x)$ .

$- {arccot (x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [arccot (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $arccot (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$- {arccot (x)}^{- 2} (- \frac{1}{1 + x^{2}})$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 {arccot (x)}^{- 2} \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere ${arccot (x)}^{- 2}$ mit $1$ .

${arccot (x)}^{- 2} \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 4.3

Kombiniere ${arccot (x)}^{- 2}$ und $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{{arccot (x)}^{- 2}}{1 + x^{2}}$

Schritt 4.4

Bringe ${arccot (x)}^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) {arccot (x)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{1 {arccot (x)}^{2} + x^{2} {arccot (x)}^{2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere ${arccot (x)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{{arccot (x)}^{2} + x^{2} {arccot (x)}^{2}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere ${arccot (x)}^{2}$ aus ${arccot (x)}^{2} + x^{2} {arccot (x)}^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1}{{arccot (x)}^{2} \cdot 1 + x^{2} {arccot (x)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere ${arccot (x)}^{2}$ aus $x^{2} {arccot (x)}^{2}$ heraus.

$\frac{1}{{arccot (x)}^{2} \cdot 1 + {arccot (x)}^{2} x^{2}}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere ${arccot (x)}^{2}$ aus ${arccot (x)}^{2} \cdot 1 + {arccot (x)}^{2} x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{{arccot (x)}^{2} (1 + x^{2})}$