Analysis Beispiele

$\int 5 x (x - 4) (3 x + 5) d x$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int (x (x - 4)) (3 x + 5) d x$

Schritt 2

Sei $u = 3 x + 5$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 3 x + 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 5]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{5}{3} - 4) u \frac{1}{3} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{5}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}) u \frac{1}{3} d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{3}$ .

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{5}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}) u \frac{1}{3} d u$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} + \frac{- 5 - 4 \cdot 3}{3}) u \frac{1}{3} d u$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} + \frac{- 5 - 12}{3}) u \frac{1}{3} d u$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $12$ von $- 5$ .

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} + \frac{- 17}{3}) u \frac{1}{3} d u$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{17}{3}) u \frac{1}{3} d u$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u$ .

$5 \int (\frac{u}{3} - \frac{5}{3}) (\frac{u}{3} - \frac{17}{3}) \frac{u}{3} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \int (\frac{u}{3} (\frac{u}{3} - \frac{17}{3}) - \frac{5}{3} (\frac{u}{3} - \frac{17}{3})) \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \int (\frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (- \frac{17}{3}) - \frac{5}{3} (\frac{u}{3} - \frac{17}{3})) \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \int (\frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (- \frac{17}{3}) - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} - \frac{5}{3} (- \frac{17}{3})) \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \int (\frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (- \frac{17}{3})) \frac{u}{3} + (- \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} - \frac{5}{3} (- \frac{17}{3})) \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \int \frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (- \frac{17}{3}) \frac{u}{3} + (- \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} - \frac{5}{3} (- \frac{17}{3})) \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \int \frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} + \frac{u}{3} (- \frac{17}{3}) \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} (- \frac{17}{3}) \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.7

Stelle $\frac{u}{3}$ und $- 1$ um.

$5 \int \frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} (- \frac{17}{3}) \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.8

Bewege $\frac{5}{3}$ .

$5 \int \frac{u}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $\frac{u}{3}$ mit $\frac{u}{3}$ .

$5 \int \frac{u \cdot u}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.10

Potenziere $u$ mit $1$ .

$5 \int \frac{u^{1} u}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.11

Potenziere $u$ mit $1$ .

$5 \int \frac{u^{1} u^{1}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \int \frac{u^{1 + 1}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.13

Addiere $1$ und $1$ .

$5 \int \frac{u^{2}}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$5 \int \frac{u^{2}}{9} \cdot \frac{u}{3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $\frac{u^{2}}{9}$ mit $\frac{u}{3}$ .

$5 \int \frac{u^{2} u}{9 \cdot 3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.16

Potenziere $u$ mit $1$ .

$5 \int \frac{u^{2} u^{1}}{9 \cdot 3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \int \frac{u^{2 + 1}}{9 \cdot 3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.18

Addiere $2$ und $1$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{9 \cdot 3} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.19

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} - 1 \frac{u}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.20

Kombiniere $- 1 \frac{u}{3}$ und $\frac{17}{3}$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u}{3} \cdot 17}{3} \cdot \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.21

Kombiniere $\frac{u}{3}$ und $17$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17}{3}}{3} \cdot \frac{u}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.22

Mutltipliziere $\frac{- 1 \frac{u \cdot 17}{3}}{3}$ mit $\frac{u}{3}$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17}{3} u}{3 \cdot 3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.23

Kombiniere $\frac{u \cdot 17}{3}$ und $u$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{3 \cdot 3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.24

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5}{3} \cdot \frac{u}{3} \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.25

Kombiniere $- \frac{5}{3}$ und $\frac{u}{3}$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.26

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u}{9} \cdot \frac{u}{3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.27

Kombiniere $- \frac{5 u}{9}$ und $\frac{u}{3}$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u \cdot u}{9 \cdot 3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.28

Potenziere $u$ mit $1$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 (u^{1} u)}{9 \cdot 3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.29

Potenziere $u$ mit $1$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 (u^{1} u^{1})}{9 \cdot 3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.30

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{1 + 1}}{9 \cdot 3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.31

Addiere $1$ und $1$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{9 \cdot 3} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.32

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} - 1 \cdot - 1 \frac{5}{3} \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.33

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + 1 (\frac{5}{3}) \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.34

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $1$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{5}{3} \cdot \frac{17}{3} \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.35

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $\frac{17}{3}$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{5 \cdot 17}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.36

Mutltipliziere $5$ mit $17$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85}{3 \cdot 3} \cdot \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.37

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85}{9} \cdot \frac{u}{3} d u$

Schritt 4.38

Mutltipliziere $\frac{85}{9}$ mit $\frac{u}{3}$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{9 \cdot 3} d u$

Schritt 4.39

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{u \cdot 17 u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Bringe $17$ auf die linke Seite von $u$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{17 \cdot u \cdot u}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Schritt 5.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{17 (u^{1} u)}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Schritt 5.3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{17 (u^{1} u^{1})}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Schritt 5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{17 u^{1 + 1}}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Schritt 5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- 1 \frac{17 u^{2}}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Schritt 5.6

Schreibe $- 1 \frac{17 u^{2}}{3}$ als $- \frac{17 u^{2}}{3}$ um.

$5 \int \frac{u^{3}}{27} + \frac{- \frac{17 u^{2}}{3}}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Schritt 5.7

Schreibe $\frac{- \frac{17 u^{2}}{3}}{9}$ als ein Produkt um.

$5 \int \frac{u^{3}}{27} - \frac{17 u^{2}}{3} \cdot \frac{1}{9} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{17 u^{2}}{3}$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} - \frac{17 u^{2}}{9 \cdot 3} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$5 \int \frac{u^{3}}{27} - \frac{17 u^{2}}{27} - \frac{5 u^{2}}{27} + \frac{85 u}{27} d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$5 (\int \frac{u^{3}}{27} d u + \int - \frac{17 u^{2}}{27} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{27}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{27}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{27} \int u^{3} d u + \int - \frac{17 u^{2}}{27} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$5 (\frac{1}{27} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int - \frac{17 u^{2}}{27} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u^{4}$ .

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int - \frac{17 u^{2}}{27} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \int \frac{17 u^{2}}{27} d u + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Schritt 11

Da $\frac{17}{27}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{17}{27}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - (\frac{17}{27} \int u^{2} d u) + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) + \int - \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Schritt 14

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - \int \frac{5 u^{2}}{27} d u + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Schritt 15

Da $\frac{5}{27}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{5}{27}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - (\frac{5}{27} \int u^{2} d u) + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Schritt 16

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - \frac{5}{27} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Schritt 17

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - \frac{5}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) + \int \frac{85 u}{27} d u)$

Schritt 18

Da $\frac{85}{27}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{85}{27}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - \frac{5}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{85}{27} \int u d u)$

Schritt 19

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - \frac{5}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{85}{27} (\frac{1}{2} u^{2} + C))$

Schritt 20

Vereinfache.

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Schritt 20.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$5 (\frac{1}{27} (\frac{u^{4}}{4} + C) - \frac{17}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) - \frac{5}{27} (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{85}{27} (\frac{u^{2}}{2} + C))$

Schritt 20.2

Vereinfache.

$5 (\frac{u^{4}}{108} - \frac{17 u^{3}}{81} - \frac{5 u^{3}}{81} + \frac{85 u^{2}}{54}) + C$

Schritt 20.3

Vereinfache.

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Schritt 20.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (\frac{u^{4}}{108} + \frac{- 17 u^{3} - 5 u^{3}}{81} + \frac{85 u^{2}}{54}) + C$

Schritt 20.3.2

Subtrahiere $5 u^{3}$ von $- 17 u^{3}$ .

$5 (\frac{u^{4}}{108} + \frac{- 22 u^{3}}{81} + \frac{85 u^{2}}{54}) + C$

Schritt 20.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (\frac{u^{4}}{108} - \frac{22 u^{3}}{81} + \frac{85 u^{2}}{54}) + C$

Schritt 21

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 5$ .

$5 (\frac{{(3 x + 5)}^{4}}{108} - \frac{22 {(3 x + 5)}^{3}}{81} + \frac{85 {(3 x + 5)}^{2}}{54}) + C$

Schritt 22

Stelle die Terme um.

$5 (\frac{1}{108} {(3 x + 5)}^{4} - \frac{22}{81} {(3 x + 5)}^{3} + \frac{85}{54} {(3 x + 5)}^{2}) + C$