Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x + 1}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{4}{x^{2} - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1}$

Schritt 1.2

Um $\frac{2}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x^{2} - 1) (x + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{x^{2} - 1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1)}{(x^{2} - 1) (x + 1)} + \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x + 1}$ mit $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1)}{(x^{2} - 1) (x + 1)} + \frac{2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x^{2} - 1) (x + 1)$ um.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)} + \frac{2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 (x + 1) + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 1 + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1) + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 (lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{4 (- 1 + 1) + 2 ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{4 (- 1 + 1) + 2 ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.10.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 2 ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.10.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0 + 2 ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.10.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.10.1.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0 + 2 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.10.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0 + 2 (1 - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.10.1.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.10.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.2.10.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1 \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}$

Schritt 2.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}$

Schritt 2.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}$

Schritt 2.1.3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}$

Schritt 2.1.3.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}$

Schritt 2.1.3.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{(- 1 + 1) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{(- 1 + 1) \cdot ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.8.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.8.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

Schritt 2.1.3.8.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Schritt 2.1.3.8.4

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.8.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.9

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 (x + 1)]$ .

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Schritt 2.3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 (x + 1)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x + 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 (x^{2} - 1)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.4.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 4 x}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.5

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 2.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 2.3.10

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 2.3.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 \cdot (x + 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 2.3.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Schritt 2.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Schritt 2.3.14

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + 0)}$

Schritt 2.3.15

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) \cdot 1}$

Schritt 2.3.16

Mutltipliziere $x^{2} - 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + x^{2} - 1}$

Schritt 2.3.17

Vereinfache.

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Schritt 2.3.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(2 x + 2 \cdot 1) x + x^{2} - 1}$

Schritt 2.3.17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Schritt 2.3.17.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.17.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Schritt 2.3.17.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Schritt 2.3.17.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Schritt 2.3.17.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Schritt 2.3.17.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 2 x + x^{2} - 1}$

Schritt 2.3.17.3.6

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 1}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x + lim_{x \to - 1} 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2.1.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{4 \cdot - 1 + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Schritt 3.1.2.3.2

Addiere $- 4$ und $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 3.1.3.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 3.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 3.1.3.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 3.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{3 {(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.7.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{0}{3 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.7.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{0}{3 - 2 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{3 - 2 - 1}$

Schritt 3.1.3.7.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 3.1.3.7.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.7.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 3.3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.5

Addiere $4$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Schritt 3.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.7.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.3.8.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 + 0}$

Schritt 3.3.10

Addiere $6 x + 2$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6 x + 2$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{6 x + 2}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x) + 2}$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x) + 2 (1)}$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (1)$ heraus.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x + 1)}$

Schritt 3.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x + 1)}$

Schritt 3.4.2.5

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{3 x + 1}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to - 1} \frac{1}{3 x + 1}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 3 x + 1}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x + 1}$

Schritt 4.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 4.5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{1}{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 4.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$2 \frac{1}{3 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$2 \frac{1}{3 \cdot - 1 + 1}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 \frac{1}{- 3 + 1}$

Schritt 6.1.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$2 (\frac{1}{- 2})$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 \frac{1}{2 (- 1)}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 1}$

Schritt 6.3

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$- 1$