Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{1 + t^{3}} d t$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{1^{3} + t^{3}} d t]$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 1$ und $b = t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

Schritt 1.3.2

Schreibe $- 1 t$ als $- t$ um.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

Schritt 2

Nehme die Ableitung von $\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$\frac{d}{d x} [3 x + 2] \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Schritt 3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(3 + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(3 + 0) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Schritt 5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.1

Addiere $3$ und $0$ .

$3 \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Schritt 5.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$3 \frac{3 x + 2}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{3 x + 2}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$ .

$\frac{3 (3 x + 2)}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $3$ aus $(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})$ heraus.

$\frac{3 (3 x + 2)}{3 ((x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2}))}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (3 x + 2)}{3 ((x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2}))}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - (3 x) - 1 \cdot 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Schritt 7.2

Vereine die Terme

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - 3 x - 1 \cdot 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - 3 x - 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Schritt 7.2.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (- 3 x - 1 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Schritt 7.3

Stelle die Terme um.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + {(3 x + 2)}^{2}) (x + 1)}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.4.1

Schreibe ${(3 x + 2)}^{2}$ als $(3 x + 2) (3 x + 2)$ um.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + (3 x + 2) (3 x + 2)) (x + 1)}$

Schritt 7.4.2

Multipliziere $(3 x + 2) (3 x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) (x + 1)}$

Schritt 7.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x + 2)) (x + 1)}$

Schritt 7.4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Schritt 7.4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Schritt 7.4.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.4.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Schritt 7.4.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Schritt 7.4.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Schritt 7.4.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Schritt 7.4.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 6 x + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Schritt 7.4.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 6 x + 4) (x + 1)}$

Schritt 7.4.3.2

Addiere $6 x$ und $6 x$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 12 x + 4) (x + 1)}$

Schritt 7.4.4

Addiere $- 3 x$ und $12 x$ .

$\frac{3 x + 2}{(9 x - 1 + 9 x^{2} + 4) (x + 1)}$

Schritt 7.4.5

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{3 x + 2}{(9 x + 9 x^{2} + 3) (x + 1)}$

Schritt 7.4.6

Stelle die Terme um.

$\frac{3 x + 2}{(9 x^{2} + 9 x + 3) (x + 1)}$

Schritt 7.4.7

Faktorisiere $3$ aus $9 x^{2} + 9 x + 3$ heraus.

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Schritt 7.4.7.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 9 x + 3) (x + 1)}$

Schritt 7.4.7.2

Faktorisiere $3$ aus $9 x$ heraus.

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 3 (3 x) + 3) (x + 1)}$

Schritt 7.4.7.3

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 3 (3 x) + 3 (1)) (x + 1)}$

Schritt 7.4.7.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 x^{2}) + 3 (3 x)$ heraus.

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2} + 3 x) + 3 (1)) (x + 1)}$

Schritt 7.4.7.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 x^{2} + 3 x) + 3 (1)$ heraus.

$\frac{3 x + 2}{3 (3 x^{2} + 3 x + 1) (x + 1)}$