Analysis Beispiele

$\int_{2}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} - 4$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} - 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2} - 4$ ein.

$u_{lower} = 2^{2} - 4$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{lower} = 4 - 4$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2} - 4$ ein.

$u_{upper} = 4^{2} - 4$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$u_{upper} = 16 - 4$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$u_{upper} = 12$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 12$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{12} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{12} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int_{0}^{12} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{12} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{0}^{12}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $12$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})})$

Schritt 6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{1})$

Schritt 6.2.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0)$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} + 0)$

Schritt 6.2.6

Addiere $2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 12^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.7

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot 12^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.8

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $12^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 6.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 12^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 6.2.10

Dividiere $12^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$12^{\frac{1}{2}}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$12^{\frac{1}{2}}$

Dezimalform:

$3.46410161 \dots$

Schritt 8