Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{3} \frac{k^{2}}{k + 1}$

Schritt 1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

$\frac{1^{2}}{1 + 1} + \frac{2^{2}}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{1 + 1} + \frac{2^{2}}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Schritt 2.1.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2^{2}}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Schritt 2.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Schritt 2.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{9}{3 + 1}$

Schritt 2.1.6

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4}$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9}{4}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 2.2.9

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 3$ um.

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{12}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 + 4 \cdot 4 + 9 \cdot 3}{12}$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{6 + 16 + 9 \cdot 3}{12}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{6 + 16 + 27}{12}$

Schritt 2.5

Addiere $6$ und $16$ .

$\frac{22 + 27}{12}$

Schritt 2.6

Addiere $22$ und $27$ .

$\frac{49}{12}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{49}{12}$

Dezimalform:

$4.08\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$4 \frac{1}{12}$