Analysis Beispiele

$2 x^{3} + y = - y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} + y) = \frac{d}{d x} (- y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 x^{2} + y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 2 y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 x^{2} + y' = - 2 y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Addiere $2 y y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} + y' + 2 y y' = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $6 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' + 2 y y' = - 6 x^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' + 2 y y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' \cdot 1 + 2 y y' = - 6 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y' \cdot 1 + y' (2 y) = - 6 x^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot 1 + y' (2 y)$ heraus.

$y' (1 + 2 y) = - 6 x^{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 + 2 y) = - 6 x^{2}$ durch $1 + 2 y$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 + 2 y) = - 6 x^{2}$ durch $1 + 2 y$ .

$\frac{y' (1 + 2 y)}{1 + 2 y} = \frac{- 6 x^{2}}{1 + 2 y}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 2 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 + 2 y)}{1 + 2 y} = \frac{- 6 x^{2}}{1 + 2 y}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 6 x^{2}}{1 + 2 y}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{1 + 2 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{1 + 2 y}$