Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} {\cos (x)}^{\frac{1}{x}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${\cos (x)}^{\frac{1}{x}}$ als $e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x}})}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{x}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x} \ln (\cos (x))}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \ln (\cos (x))}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\ln (\cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\cos (x))}{x}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0^{+}} x))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Schritt 3.1.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\cos (x))}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $\frac{1}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Schritt 4.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Schritt 4.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0)}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0)}{\cos (0)}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$e^{- \frac{0}{\cos (0)}}$

Schritt 6.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$e^{- \frac{0}{1}}$

Schritt 6.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$e^{- 0}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e^{0}$

Schritt 6.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1$