Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} - e}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} x e^{x} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x e^{x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} e^{x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $e$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 \cdot e^{lim_{x \to 1} x} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 \cdot e^{1} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.1.1

Mutltipliziere $e^{1}$ mit $1$ .

$\frac{e^{1} - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.2.6.1.2

Vereinfache.

$\frac{e - e}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $e$ von $e$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} - e}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{x} - e$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.3.4

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.4

Da $- e$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $x e^{x} + e^{x}$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.5.2

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} x + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.5.3

Stelle die Faktoren in $e^{x} x + e^{x}$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{2 x + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{2 x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{x e^{x} + e^{x}}{x}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x e^{x} + e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x e^{x} + lim_{x \to 1} e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} e^{x} + lim_{x \to 1} e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} e^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 2.6

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x} + e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{lim_{x \to 1} x} + e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{1} + e^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{1} + e^{1}}{lim_{x \to 1} x}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot e^{1} + e^{1}}{1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Dividiere $1 \cdot e^{1} + e^{1}$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (1 \cdot e^{1} + e^{1})$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $e^{1}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{1} + e^{1})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (e + e^{1})$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (e + e)$

Schritt 4.3

Addiere $e$ und $e$ .

$\frac{1}{2} (2 e)$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (e))$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 e)$

Schritt 4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$e$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e$

Dezimalform:

$2.71828182 \dots$