Analysis Beispiele

$\int (- \frac{4}{x^{3}} - \frac{8}{x^{5}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int - \frac{4}{x^{3}} - \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - \frac{4}{x^{3}} d x + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{4}{x^{3}} d x + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- (4 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 5.2

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 4 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 7.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Schritt 9

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (8 \int \frac{1}{x^{5}} d x)$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 10.2

Bringe $x^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Schritt 10.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Schritt 10.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 \int x^{- 5} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $x^{- 4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Schritt 12.1.2

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$\frac{2}{x^{2}} - 8 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Schritt 12.3

Vereinfache.

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Schritt 12.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$\frac{2}{x^{2}} + 8 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Schritt 12.3.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{8}{4 x^{4}} + C$

Schritt 12.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 12.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{4 \cdot 2}{4 x^{4}} + C$

Schritt 12.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{4}$ heraus.

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{4 \cdot 2}{4 (x^{4})} + C$

Schritt 12.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{4 \cdot 2}{4 x^{4}} + C$

Schritt 12.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{4}} + C$