Analysis Beispiele

$y = {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{3}{4}}$ und $g (x) = 9 x^{2} - 2 x + 2$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x^{2} - 2 x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{4}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} u^{- \frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x^{2} - 2 x + 2$ .

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Schritt 3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 3 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $4$ von $- 3$ .

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 7}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Schritt 3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Schritt 3.6.2

Kombiniere ${(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}$ und $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{{(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Schritt 3.6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}$ .

$- \frac{3 \cdot {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Schritt 3.6.3.2

Bringe ${(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} - 2 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.8

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.11

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.14

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 + 0)$

Schritt 3.15

Addiere $18 x - 2$ und $0$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2)$

Schritt 3.16

Vereinfache.

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Schritt 3.16.1

Stelle die Faktoren von $- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2)$ um.

$- (18 x - 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 3.16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (18 x) - - 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 3.16.3

Mutltipliziere $18$ mit $- 1$ .

$(- 18 x - - 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 3.16.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$(- 18 x + 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 3.16.5

Mutltipliziere $- 18 x + 2$ mit $\frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$ .

$\frac{(- 18 x + 2) \cdot 3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 3.16.6

Faktorisiere $2$ aus $(- 18 x + 2) \cdot 3$ heraus.

$\frac{2 ((- 9 x + 1) \cdot 3)}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 3.16.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.16.7.1

Faktorisiere $2$ aus $4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}$ heraus.

$\frac{2 ((- 9 x + 1) \cdot 3)}{2 (2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}})}$

Schritt 3.16.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 ((- 9 x + 1) \cdot 3)}{2 (2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}})}$

Schritt 3.16.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(- 9 x + 1) \cdot 3}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 3.16.8

Bringe $3$ auf die linke Seite von $- 9 x + 1$ .

$\frac{3 \cdot (- 9 x + 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 3.16.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 x$ heraus.

$\frac{3 (- (9 x) + 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 3.16.10

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{3 (- (9 x) - 1 (- 1))}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 3.16.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 (- (9 x - 1))}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 3.16.12

Schreibe $- (9 x - 1)$ als $- 1 (9 x - 1)$ um.

$\frac{3 (- 1 (9 x - 1))}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 3.16.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (9 x - 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{3 (9 x - 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 (9 x - 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$