Analysis Beispiele

$y^{3} - x y^{2} + x^{3} = 5$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y^{3} - x y^{2} + x^{3}) = \frac{d}{d y} (5)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} - x y^{2} + x^{3}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x y^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$3 y^{2} - \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y^{2}$ .

$3 y^{2} - (x \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 y^{2} - (x (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$3 y^{2} - (x (2 y) + y^{2} x') + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Schritt 2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{3}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + 3 u^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$3 y^{2} - (2 x y + y^{2} x') + 3 x^{2} x'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y^{2} - (2 x y) - (y^{2} x') + 3 x^{2} x'$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 x y - y^{2} x' + 3 x^{2} x'$

Schritt 3

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 y^{2} - 2 x y - y^{2} x' + 3 x^{2} x' = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $3 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x y - y^{2} x' + 3 x^{2} x' = - 3 y^{2}$

Schritt 5.1.2

Addiere $2 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} x' + 3 x^{2} x' = - 3 y^{2} + 2 x y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x'$ aus $- y^{2} x' + 3 x^{2} x'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x'$ aus $- y^{2} x'$ heraus.

$x' (- y^{2}) + 3 x^{2} x' = - 3 y^{2} + 2 x y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x'$ aus $3 x^{2} x'$ heraus.

$x' (- y^{2}) + x' (3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' (- y^{2}) + x' (3 x^{2})$ heraus.

$x' (- y^{2} + 3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x' (- y^{2} + 3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$ durch $- y^{2} + 3 x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (- y^{2} + 3 x^{2}) = - 3 y^{2} + 2 x y$ durch $- y^{2} + 3 x^{2}$ .

$\frac{x' (- y^{2} + 3 x^{2})}{- y^{2} + 3 x^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{- y^{2} + 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- y^{2} + 3 x^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (- y^{2} + 3 x^{2})}{- y^{2} + 3 x^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{- y^{2} + 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{- y^{2} + 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y^{2} + 2 x y$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$x' = \frac{y (- 3 y) + 2 x y}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $2 x y$ heraus.

$x' = \frac{y (- 3 y) + y (2 x)}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- 3 y) + y (2 x)$ heraus.

$x' = \frac{y (- 3 y + 2 x)}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y$ heraus.

$x' = \frac{y (- (3 y) + 2 x)}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x$ heraus.

$x' = \frac{y (- (3 y) - (- 2 x))}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 y) - (- 2 x)$ heraus.

$x' = \frac{y (- (3 y - 2 x))}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Schritt 5.3.3.6

Schreibe $- (3 y - 2 x)$ als $- 1 (3 y - 2 x)$ um.

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- y^{2} + 3 x^{2}}$

Schritt 5.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2}$ heraus.

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- (y^{2}) + 3 x^{2}}$

Schritt 5.3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- (y^{2}) - (- 3 x^{2})}$

Schritt 5.3.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2}) - (- 3 x^{2})$ heraus.

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- (y^{2} - 3 x^{2})}$

Schritt 5.3.3.10

Schreibe $- (y^{2} - 3 x^{2})$ als $- 1 (y^{2} - 3 x^{2})$ um.

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- 1 (y^{2} - 3 x^{2})}$

Schritt 5.3.3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{y (- 1 (3 y - 2 x))}{- 1 (y^{2} - 3 x^{2})}$

Schritt 5.3.3.12

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{y (3 y - 2 x)}{y^{2} - 3 x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y (3 y - 2 x)}{y^{2} - 3 x^{2}}$