Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1} - 3}{3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} 3 e^{x - 1} - 3}{lim_{x \to 1} 3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 3 e^{x - 1} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}}$

Schritt 1.2.1.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 1} e^{x - 1} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}}$

Schritt 1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{3 e^{lim_{x \to 1} x - 1} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}}$

Schritt 1.2.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{3 e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}}$

Schritt 1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{3 e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} 3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}}$

Schritt 1.2.1.6

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{3 e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{3 e^{1 - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 e^{1 - 1} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}}$

Schritt 1.2.3.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}}$

Schritt 1.2.3.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}}$

Schritt 1.2.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} 3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}}$

Schritt 1.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 1} 3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}}$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 3 \cos (x - 1) - lim_{x \to 1} 3 x^{3}}$

Schritt 1.3.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 lim_{x \to 1} \cos (x - 1) - lim_{x \to 1} 3 x^{3}}$

Schritt 1.3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{3 \cos (lim_{x \to 1} x - 1) - lim_{x \to 1} 3 x^{3}}$

Schritt 1.3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{3 \cos (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) - lim_{x \to 1} 3 x^{3}}$

Schritt 1.3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{3 \cos (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) - lim_{x \to 1} 3 x^{3}}$

Schritt 1.3.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 \cos (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) - 3 lim_{x \to 1} x^{3}}$

Schritt 1.3.7

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{3 \cos (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{3}}$

Schritt 1.3.8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.3.8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{3 \cos (1 - 1 \cdot 1) - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{3}}$

Schritt 1.3.8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{3 \cos (1 - 1 \cdot 1) - 3 \cdot 1^{3}}$

Schritt 1.3.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.9.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{3 \cos (1 - 1) - 3 \cdot 1^{3}}$

Schritt 1.3.9.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{3 \cos (0) - 3 \cdot 1^{3}}$

Schritt 1.3.9.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 3 \cdot 1^{3}}$

Schritt 1.3.9.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{0}{3 - 3 \cdot 1^{3}}$

Schritt 1.3.9.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{3 - 3 \cdot 1}$

Schritt 1.3.9.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Schritt 1.3.9.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.9.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.10

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1} - 3}{3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 1} - 3]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 1} - 3]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 e^{x - 1} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 e^{x - 1}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{x - 1}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{x - 1}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}]}$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}]}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}]}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (e^{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}]}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (e^{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}]}$

Schritt 3.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (e^{x - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}]}$

Schritt 3.3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (e^{x - 1} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}]}$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $e^{x - 1}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}]}$

Schritt 3.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1} + 0}{\frac{d}{d x} [3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}]}$

Schritt 3.5

Addiere $3 e^{x - 1}$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}]}$

Schritt 3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \cos (x - 1) - 3 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \cos (x - 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [3 \cos (x - 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Schritt 3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \cos (x - 1)]$ .

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Schritt 3.7.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos (x - 1)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos (x - 1)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1}}{3 \frac{d}{d x} [\cos (x - 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 3.7.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1}}{3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Schritt 3.7.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1}}{3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Schritt 3.7.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1}}{3 (- \sin (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Schritt 3.7.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1}}{3 (- \sin (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Schritt 3.7.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1}}{3 (- \sin (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Schritt 3.7.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1}}{3 (- \sin (x - 1) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Schritt 3.7.6

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1}}{3 (- \sin (x - 1) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Schritt 3.7.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1}}{3 (- \sin (x - 1)) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Schritt 3.7.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1}}{- 3 \sin (x - 1) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]}$

Schritt 3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Schritt 3.8.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1}}{- 3 \sin (x - 1) - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1}}{- 3 \sin (x - 1) - 3 (3 x^{2})}$

Schritt 3.8.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1}}{- 3 \sin (x - 1) - 9 x^{2}}$

Schritt 3.9

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1}}{- 9 x^{2} - 3 \sin (x - 1)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $- 9 x^{2} - 3 \sin (x - 1)$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 e^{x - 1}$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{3 (e^{x - 1})}{- 9 x^{2} - 3 \sin (x - 1)}$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{3 (e^{x - 1})}{3 (- 3 x^{2}) - 3 \sin (x - 1)}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \sin (x - 1)$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{3 (e^{x - 1})}{3 (- 3 x^{2}) + 3 (- \sin (x - 1))}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 3 x^{2}) + 3 (- \sin (x - 1))$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{3 (e^{x - 1})}{3 (- 3 x^{2} - \sin (x - 1))}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{3 e^{x - 1}}{3 (- 3 x^{2} - \sin (x - 1))}$

Schritt 4.2.5

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x - 1}}{- 3 x^{2} - \sin (x - 1)}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x - 1}}{lim_{x \to 1} - 3 x^{2} - \sin (x - 1)}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x - 1}}{lim_{x \to 1} - 3 x^{2} - \sin (x - 1)}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}}{lim_{x \to 1} - 3 x^{2} - \sin (x - 1)}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} - 3 x^{2} - \sin (x - 1)}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{- lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} \sin (x - 1)}$

Schritt 10

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{- 3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} \sin (x - 1)}$

Schritt 11

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{- 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} \sin (x - 1)}$

Schritt 12

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{- 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - \sin (lim_{x \to 1} x - 1)}$

Schritt 13

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{- 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - \sin (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}$

Schritt 14

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{- 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - \sin (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Schritt 15

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 15.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{e^{1 - 1 \cdot 1}}{- 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - \sin (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Schritt 15.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{e^{1 - 1 \cdot 1}}{- 3 \cdot 1^{2} - \sin (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Schritt 15.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{e^{1 - 1 \cdot 1}}{- 3 \cdot 1^{2} - \sin (1 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 16

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 16.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{e^{1 - 1}}{- 3 \cdot 1^{2} - \sin (1 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 16.1.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{e^{0}}{- 3 \cdot 1^{2} - \sin (1 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 16.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{- 3 \cdot 1^{2} - \sin (1 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 16.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{- 3 \cdot 1 - \sin (1 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 16.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 3 - \sin (1 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 16.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{- 3 - \sin (1 - 1)}$

Schritt 16.2.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{- 3 - \sin (0)}$

Schritt 16.2.5

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{- 3 - 0}$

Schritt 16.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{- 3 + 0}$

Schritt 16.2.7

Addiere $- 3$ und $0$ .

$\frac{1}{- 3}$

Schritt 16.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3}$