Analysis Beispiele

$\frac{3}{2 x - 5} - 4$

Schritt 1

Schreibe $\frac{3}{2 x - 5} - 4$ als Funktion.

$f (x) = \frac{3}{2 x - 5} - 4$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{3}{2 x - 5} - 4 d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{3}{2 x - 5} d x + \int - 4 d x$

Schritt 5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{2 x - 5} d x + \int - 4 d x$

Schritt 6

Sei $u = 2 x - 5$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = 2 x - 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $2 x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 6.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 6.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 6.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 6.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.1.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 6.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - 4 d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int - 4 d x$

Schritt 7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$3 \int \frac{1}{2 u} d u + \int - 4 d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int - 4 d x$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int - 4 d x$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - 4 d x$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C) - 4 x + C$

Schritt 12

Vereinfache.

$\frac{3}{2} \ln (| u |) - 4 x + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 5$ .

$\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 5 |) - 4 x + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{3}{2 x - 5} - 4$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 5 |) - 4 x + C$