Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{7} (x) \sin^{5} (x) d x$

Schritt 1

Faktorisiere $\cos^{6} (x)$ aus.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{6} (x) \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (3)} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Schritt 2.2

Schreibe ${\cos (x)}^{2 (3)}$ als Potenz um.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{3} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Schritt 3

Schreibe $\cos^{2} (x)$ in $1 - \sin^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{3} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Schritt 4

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{lower} = \sin (0)$

Schritt 4.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 4.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{1} {(1 - u^{2})}^{3} u^{5} d u$

Schritt 5

Multipliziere ${(1 - u^{2})}^{3} u^{5}$ aus.

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Schritt 5.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\int_{0}^{1} (1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3}) u^{5} d u$

Schritt 5.2

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int_{0}^{1} (1 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3}) u^{5} d u$

Schritt 5.3

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int_{0}^{1} (1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3}) u^{5} d u$

Schritt 5.4

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int_{0}^{1} (1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3}) u^{5} d u$

Schritt 5.5

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int_{0}^{1} (1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) + {(- u^{2})}^{3}) u^{5} d u$

Schritt 5.6

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int_{0}^{1} (1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} {(- u^{2})}^{2}) u^{5} d u$

Schritt 5.7

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int_{0}^{1} (1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2}))) u^{5} d u$

Schritt 5.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{1} (1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2}))) u^{5} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) u^{5} d u$

Schritt 5.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{1} (1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2})) u^{5} + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) u^{5} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) u^{5} d u$

Schritt 5.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot (1 \cdot 1) u^{5} + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) u^{5} + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) u^{5} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) u^{5} d u$

Schritt 5.11

Bewege $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 \cdot 1 u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) u^{5} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) u^{5} d u$

Schritt 5.12

Versetze die Klammern.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 \cdot 1 u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} u^{5} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) u^{5} d u$

Schritt 5.13

Versetze die Klammern.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 \cdot 1 u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} u^{5} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) u^{5} d u$

Schritt 5.14

Bewege $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 \cdot 1 u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) u^{5} d u$

Schritt 5.15

Versetze die Klammern.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 \cdot 1 u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.16

Versetze die Klammern.

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 \cdot 1 u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - u^{2} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.17

Bewege $u^{2}$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 \cdot 1 u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.18

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 \cdot 1 u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.19

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} 1 u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.20

Mutltipliziere $u^{5}$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.21

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.22

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} + 3 \cdot - 1 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.23

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{2} u^{5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.24

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{2 + 5} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.25

Addiere $2$ und $5$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.26

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.27

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} - 3 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.28

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{2} u^{2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.29

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{2 + 2} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.30

Addiere $2$ und $2$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{4} u^{5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.31

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{4 + 5} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.32

Addiere $4$ und $5$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.33

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.34

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - u^{2} u^{2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.35

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - (u^{2} u^{2}) u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.36

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - u^{2 + 2} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.37

Addiere $2$ und $2$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - u^{4} u^{2} u^{5} d u$

Schritt 5.38

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - (u^{4} u^{2}) u^{5} d u$

Schritt 5.39

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - u^{4 + 2} u^{5} d u$

Schritt 5.40

Addiere $4$ und $2$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - u^{6} u^{5} d u$

Schritt 5.41

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - (u^{6} u^{5}) d u$

Schritt 5.42

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - u^{6 + 5} d u$

Schritt 5.43

Addiere $6$ und $5$ .

$\int_{0}^{1} u^{5} - 3 u^{7} + 3 u^{9} - u^{11} d u$

Schritt 5.44

Stelle $u^{5}$ und $- 3 u^{7}$ um.

$\int_{0}^{1} - 3 u^{7} + u^{5} + 3 u^{9} - u^{11} d u$

Schritt 5.45

Bewege $u^{5}$ .

$\int_{0}^{1} - 3 u^{7} + 3 u^{9} + u^{5} - u^{11} d u$

Schritt 5.46

Stelle $- 3 u^{7}$ und $3 u^{9}$ um.

$\int_{0}^{1} 3 u^{9} - 3 u^{7} + u^{5} - u^{11} d u$

Schritt 5.47

Bewege $u^{5}$ .

$\int_{0}^{1} 3 u^{9} - 3 u^{7} - u^{11} + u^{5} d u$

Schritt 5.48

Bewege $- 3 u^{7}$ .

$\int_{0}^{1} 3 u^{9} - u^{11} - 3 u^{7} + u^{5} d u$

Schritt 5.49

Stelle $3 u^{9}$ und $- u^{11}$ um.

$\int_{0}^{1} - u^{11} + 3 u^{9} - 3 u^{7} + u^{5} d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} - u^{11} d u + \int_{0}^{1} 3 u^{9} d u + \int_{0}^{1} - 3 u^{7} d u + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{0}^{1} u^{11} d u + \int_{0}^{1} 3 u^{9} d u + \int_{0}^{1} - 3 u^{7} d u + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{11}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$- (\frac{1}{12} u^{12}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 u^{9} d u + \int_{0}^{1} - 3 u^{7} d u + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $u^{12}$ .

$- (\frac{u^{12}}{12}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 u^{9} d u + \int_{0}^{1} - 3 u^{7} d u + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Schritt 10

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- (\frac{u^{12}}{12}]_{0}^{1}) + 3 \int_{0}^{1} u^{9} d u + \int_{0}^{1} - 3 u^{7} d u + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{9}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$- (\frac{u^{12}}{12}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{1}{10} u^{10}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 3 u^{7} d u + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $u^{10}$ .

$- (\frac{u^{12}}{12}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 3 u^{7} d u + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Schritt 13

Da $- 3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$- (\frac{u^{12}}{12}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1}) - 3 \int_{0}^{1} u^{7} d u + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{7}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$- (\frac{u^{12}}{12}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1}) - 3 (\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Schritt 15

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $u^{8}$ .

$- (\frac{u^{12}}{12}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1}) - 3 (\frac{u^{8}}{8}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{5} d u$

Schritt 16

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$- (\frac{u^{12}}{12}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1}) - 3 (\frac{u^{8}}{8}]_{0}^{1}) + \frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{1}$

Schritt 17

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 17.1

Berechne $\frac{u^{12}}{12}$ bei $1$ und $0$ .

$- ((\frac{1^{12}}{12}) - \frac{0^{12}}{12}) + 3 (\frac{u^{10}}{10}]_{0}^{1}) - 3 (\frac{u^{8}}{8}]_{0}^{1}) + \frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{1}$

Schritt 17.2

Berechne $\frac{u^{10}}{10}$ bei $1$ und $0$ .

$- (\frac{1^{12}}{12} - \frac{0^{12}}{12}) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{u^{8}}{8}]_{0}^{1}) + \frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{1}$

Schritt 17.3

Berechne $\frac{u^{8}}{8}$ bei $1$ und $0$ .

$- (\frac{1^{12}}{12} - \frac{0^{12}}{12}) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 ((\frac{1^{8}}{8}) - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{1}$

Schritt 17.4

Berechne $\frac{1}{6} u^{6}$ bei $1$ und $0$ .

$- (\frac{1^{12}}{12} - \frac{0^{12}}{12}) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5

Vereinfache.

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Schritt 17.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (\frac{1}{12} - \frac{0^{12}}{12}) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- (\frac{1}{12} - \frac{0}{12}) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $12$ .

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Schritt 17.5.3.1

Faktorisiere $12$ aus $0$ heraus.

$- (\frac{1}{12} - \frac{12 (0)}{12}) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.5.3.2.1

Faktorisiere $12$ aus $12$ heraus.

$- (\frac{1}{12} - \frac{12 \cdot 0}{12 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{1}{12} - \frac{12 \cdot 0}{12 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{1}{12} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- (\frac{1}{12} - 0) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- (\frac{1}{12} + 0) + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.5

Addiere $\frac{1}{12}$ und $0$ .

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1^{10}}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1}{10} - \frac{0^{10}}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1}{10} - \frac{0}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.5.8.1

Faktorisiere $10$ aus $0$ heraus.

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1}{10} - \frac{10 (0)}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.5.8.2.1

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1}{10} - \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1}{10} - \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1}{10} - \frac{0}{1}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1}{10} - 0) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1}{10} + 0) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.10

Addiere $\frac{1}{10}$ und $0$ .

$- \frac{1}{12} + 3 (\frac{1}{10}) - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.11

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{1}{12} + \frac{3}{10} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.12

Um $- \frac{1}{12}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{12} \cdot \frac{5}{5} + \frac{3}{10} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.13

Um $\frac{3}{10}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{1}{12} \cdot \frac{5}{5} + \frac{3}{10} \cdot \frac{6}{6} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.14

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $60$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 17.5.14.1

Mutltipliziere $\frac{1}{12}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{5}{12 \cdot 5} + \frac{3}{10} \cdot \frac{6}{6} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.14.2

Mutltipliziere $12$ mit $5$ .

$- \frac{5}{60} + \frac{3}{10} \cdot \frac{6}{6} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.14.3

Mutltipliziere $\frac{3}{10}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{5}{60} + \frac{3 \cdot 6}{10 \cdot 6} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.14.4

Mutltipliziere $10$ mit $6$ .

$- \frac{5}{60} + \frac{3 \cdot 6}{60} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 5 + 3 \cdot 6}{60} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.5.16.1

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{- 5 + 18}{60} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.16.2

Addiere $- 5$ und $18$ .

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1^{8}}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.17

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1}{8} - \frac{0^{8}}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.18

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1}{8} - \frac{0}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $8$ .

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Schritt 17.5.19.1

Faktorisiere $8$ aus $0$ heraus.

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1}{8} - \frac{8 (0)}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.5.19.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1}{8} - \frac{0}{1}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.19.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1}{8} - 0) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1}{8} + 0) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.21

Addiere $\frac{1}{8}$ und $0$ .

$\frac{13}{60} - 3 (\frac{1}{8}) + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.22

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{13}{60} + \frac{- 3}{8} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.23

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{13}{60} - \frac{3}{8} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.24

Um $\frac{13}{60}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{60} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{8} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.25

Um $- \frac{3}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{13}{60} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{8} \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.26

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $120$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 17.5.26.1

Mutltipliziere $\frac{13}{60}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13 \cdot 2}{60 \cdot 2} - \frac{3}{8} \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.26.2

Mutltipliziere $60$ mit $2$ .

$\frac{13 \cdot 2}{120} - \frac{3}{8} \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.26.3

Mutltipliziere $\frac{3}{8}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{13 \cdot 2}{120} - \frac{3 \cdot 15}{8 \cdot 15} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.26.4

Mutltipliziere $8$ mit $15$ .

$\frac{13 \cdot 2}{120} - \frac{3 \cdot 15}{120} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{13 \cdot 2 - 3 \cdot 15}{120} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.28

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.5.28.1

Mutltipliziere $13$ mit $2$ .

$\frac{26 - 3 \cdot 15}{120} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.28.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $15$ .

$\frac{26 - 45}{120} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.28.3

Subtrahiere $45$ von $26$ .

$\frac{- 19}{120} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.29

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{19}{120} + \frac{1}{6} \cdot 1^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.30

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{19}{120} + \frac{1}{6} \cdot 1 - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.31

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $1$ .

$- \frac{19}{120} + \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 17.5.32

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{19}{120} + \frac{1}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0$

Schritt 17.5.33

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$- \frac{19}{120} + \frac{1}{6} + 0 (\frac{1}{6})$

Schritt 17.5.34

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{19}{120} + \frac{1}{6} + 0$

Schritt 17.5.35

Addiere $\frac{1}{6}$ und $0$ .

$- \frac{19}{120} + \frac{1}{6}$

Schritt 17.5.36

Um $\frac{1}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{20}{20}$ .

$- \frac{19}{120} + \frac{1}{6} \cdot \frac{20}{20}$

Schritt 17.5.37

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $120$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 17.5.37.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$- \frac{19}{120} + \frac{20}{6 \cdot 20}$

Schritt 17.5.37.2

Mutltipliziere $6$ mit $20$ .

$- \frac{19}{120} + \frac{20}{120}$

Schritt 17.5.38

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 19 + 20}{120}$

Schritt 17.5.39

Addiere $- 19$ und $20$ .

$\frac{1}{120}$

Schritt 18

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{120}$

Dezimalform:

$0.008\overline{3}$