Analysis Beispiele

$e^{- s t}$

Schritt 1

Sei $u = - s t$ . Dann ist $d u = - t d s$ , folglich $- \frac{1}{t} d u = d s$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = - s t$ . Ermittle $\frac{d u}{d s}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $- s t$ .

$\frac{d}{d s} [- s t]$

Schritt 1.1.2

Da $- t$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $- s t$ nach $s$ gleich $- t \frac{d}{d s} [s]$ .

$- t \frac{d}{d s} [s]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- t \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- t$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - e^{u} \frac{- 1}{- t} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\int - e^{u} \frac{1}{t} d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{t}$ und $e^{u}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{t} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{e^{u}}{t} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{t}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{t}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{t} \int e^{u} d u)$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{t} (e^{u} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

$- \frac{1}{t} e^{u} + C$

Schritt 6.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{t}$ .

$- \frac{e^{u}}{t} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $- s t$ .

$- \frac{e^{- s t}}{t} + C$