Analysis Beispiele

$\int (\frac{8}{2} x^{8} - x^{6} + 7 x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{2} + 10) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{8}{2} x^{8} - x^{6} + 7 x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{2} + 10 d x$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\int \frac{2 \cdot 4}{2} x^{8} - x^{6} + 7 x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{2} + 10 d x$

Schritt 2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} x^{8} - x^{6} + 7 x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{2} + 10 d x$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} x^{8} - x^{6} + 7 x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{2} + 10 d x$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{4}{1} x^{8} - x^{6} + 7 x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{2} + 10 d x$

Schritt 2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\int 4 x^{8} - x^{6} + 7 x^{- 4} + \frac{1}{2} x^{2} + 10 d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 x^{8} d x + \int - x^{6} d x + \int 7 x^{- 4} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int 10 d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x^{8} d x + \int - x^{6} d x + \int 7 x^{- 4} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int 10 d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{8}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$4 (\frac{1}{9} x^{9} + C) + \int - x^{6} d x + \int 7 x^{- 4} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int 10 d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{9} x^{9} + C) - \int x^{6} d x + \int 7 x^{- 4} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int 10 d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$4 (\frac{1}{9} x^{9} + C) - (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int 7 x^{- 4} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int 10 d x$

Schritt 8

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{9} x^{9} + C) - (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 7 \int x^{- 4} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int 10 d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$4 (\frac{1}{9} x^{9} + C) - (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 7 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int 10 d x$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{9} x^{9} + C) - (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 7 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \frac{1}{2} \int x^{2} d x + \int 10 d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{9} x^{9} + C) - (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 7 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 10 d x$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$4 (\frac{1}{9} x^{9} + C) - (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 7 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 10 x + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache.

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Schritt 13.1.1

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $x^{9}$ .

$4 (\frac{x^{9}}{9} + C) - (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 7 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 10 x + C$

Schritt 13.1.2

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $x^{7}$ .

$4 (\frac{x^{9}}{9} + C) - (\frac{x^{7}}{7} + C) + 7 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 10 x + C$

Schritt 13.1.3

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{x^{9}}{9} + C) - (\frac{x^{7}}{7} + C) + 7 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 10 x + C$

Schritt 13.1.4

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{x^{9}}{9} + C) - (\frac{x^{7}}{7} + C) + 7 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 10 x + C$

Schritt 13.2

Vereinfache.

$\frac{4 x^{9}}{9} - \frac{x^{7}}{7} - \frac{7}{3 x^{3}} + \frac{x^{3}}{6} + 10 x + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{9} x^{9} - \frac{1}{7} x^{7} - \frac{7}{3 x^{3}} + \frac{1}{6} x^{3} + 10 x + C$