Analysis Beispiele

$\int (x^{3} + 5 x^{2} - 2) e^{2 x} d x$

Schritt 1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{3} e^{2 x} + 5 x^{2} e^{2 x} - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{3} e^{2 x} d x + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{3}$ und $d v = e^{2 x}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$x^{3} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 4.2

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2} \cdot 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2} \cdot 3$ aus dem Integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 x} (x^{2}) d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} \int e^{2 x} (x^{2}) d x + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 8.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 8.4

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 8.5

Kombiniere $\frac{2 e^{2 x}}{2}$ und $x$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 8.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 8.6.2

Dividiere $e^{2 x} x$ durch $1$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 9

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 10.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 12

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 12.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1})) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 13

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1})) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 14

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 15

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 16

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + \int 5 x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 17

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 \int x^{2} e^{2 x} d x + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 18

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 19

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 19.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 19.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 19.4

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 19.5

Kombiniere $\frac{2 e^{2 x}}{2}$ und $x$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 19.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 19.6.2

Dividiere $e^{2 x} x$ durch $1$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 20

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 21

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 21.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 21.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 21.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

Schritt 22

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 23

Sei $u_{2} = 2 x$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.1

Es sei $u_{2} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 23.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 23.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 23.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 23.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 23.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2})) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 24

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 25

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}))) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 26

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 26.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2})) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 26.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})) + \int - 2 e^{2 x} d x$

Schritt 27

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

Schritt 28

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

Schritt 29

Sei $u_{3} = 2 x$ . Dann ist $d u_{3} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{3} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.1

Es sei $u_{3} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 29.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 29.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 29.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 29.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) - 2 \int e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Schritt 30

Kombiniere $e^{u_{3}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) - 2 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Schritt 31

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Schritt 32

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 32.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) + \frac{- 2}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 32.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 32.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 32.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 32.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 32.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 32.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C))) + 5 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))) + \frac{- 1}{1} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 32.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

Schritt 33

Das Integral von $e^{u_{3}}$ nach $u_{3}$ ist $e^{u_{3}}$ .

Schritt 34

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 34.1

Vereinfache.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 34.2.1

Um $\frac{5 x^{2} e^{2 x}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{5 x^{2} e^{2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 34.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 x^{2} e^{2 x}}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{5 x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{5 x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{- 3 x^{2} e^{2 x} + 5 x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{- 3 x^{2} e^{2 x} + 10 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.5

Addiere $- 3 x^{2} e^{2 x}$ und $10 x^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.6

Um $- \frac{5 x e^{2 x}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{5 x e^{2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 34.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{5 x e^{2 x}}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{5 x e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x}}{4} - \frac{5 x e^{2 x} \cdot 2}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x} - 5 x e^{2 x} \cdot 2}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{3 x e^{2 x} - 10 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.10

Subtrahiere $10 x e^{2 x}$ von $3 x e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} + \frac{- 7 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.12

Um $\frac{5 e^{u_{2}}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}}}{4} \cdot \frac{2}{2} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.13

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 34.2.13.1

Mutltipliziere $\frac{5 e^{u_{2}}}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}} \cdot 2}{4 \cdot 2} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.13.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} - \frac{3 e^{u_{1}}}{8} + \frac{5 e^{u_{2}} \cdot 2}{8} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{- 3 e^{u_{1}} + 5 e^{u_{2}} \cdot 2}{8} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.15

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{- 3 e^{u_{1}} + 10 e^{u_{2}}}{8} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.16

Addiere $- 3 e^{u_{1}}$ und $10 e^{u_{2}}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{7 e^{u_{1}}}{8} - e^{u_{3}} + C$

Schritt 34.2.17

Um $- e^{u_{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{7 e^{u_{1}}}{8} - e^{u_{3}} \cdot \frac{8}{8} + C$

Schritt 34.2.18

Kombiniere $- e^{u_{3}}$ und $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{7 e^{u_{1}}}{8} + \frac{- e^{u_{3}} \cdot 8}{8} + C$

Schritt 34.2.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{7 e^{u_{1}} - e^{u_{3}} \cdot 8}{8} + C$

Schritt 34.2.20

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{7 e^{u_{1}} - 8 e^{u_{3}}}{8} + C$

Schritt 34.2.21

Subtrahiere $8 e^{u_{3}}$ von $7 e^{u_{1}}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} + \frac{- e^{u_{1}}}{8} + C$

Schritt 34.2.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} - \frac{e^{u_{1}}}{8} + C$

Schritt 35

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{7 x^{2} e^{2 x}}{4} - \frac{7 x e^{2 x}}{4} - \frac{e^{2 x}}{8} + C$

Schritt 36

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x^{3} e^{2 x} + \frac{7}{4} x^{2} e^{2 x} - \frac{7}{4} x e^{2 x} - \frac{1}{8} e^{2 x} + C$