Analysis Beispiele

$\frac{3 + 2 x^{2}}{1 - 5 x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 + 2 x^{2}$ und $g (x) = 1 - 5 x^{2}$ .

$\frac{(1 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 + 2 x^{2}] - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{(1 - 5 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 - 5 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{(1 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2}] - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 - 5 x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 - 5 x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (1 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (1 - 5 x^{2}) (2 x) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 5 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x + 5 (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x + 5 (3 + 2 x^{2}) (2 x)}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.14

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x + 10 (3 + 2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 \cdot 1 + 4 (- 5 x^{2})) x + 10 (3 + 2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \cdot 1 x + 4 (- 5 x^{2}) x + 10 (3 + 2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \cdot 1 x + 4 (- 5 x^{2}) x + (10 \cdot 3 + 10 (2 x^{2})) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \cdot 1 x + 4 (- 5 x^{2}) x + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4 x + 4 (- 5 x^{2}) x + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x + 4 (- 5 (x \cdot x^{2})) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 x + 4 (- 5 (x^{1} x^{2})) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x + 4 (- 5 x^{1 + 2}) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4 x + 4 (- 5 x^{3}) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.4

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 (x \cdot x^{2}))}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 (x^{1} x^{2}))}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 x^{1 + 2})}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 x^{3})}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 20 x^{3}}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x - 20 x^{3} + 30 x + 20 x^{3}$ .

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $- 20 x^{3}$ und $20 x^{3}$ .

$\frac{4 x + 30 x + 0}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $4 x + 30 x$ und $0$ .

$\frac{4 x + 30 x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Addiere $4 x$ und $30 x$ .

$\frac{34 x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6

Stelle die Terme um.

$\frac{34 x}{{(- 5 x^{2} + 1)}^{2}}$