Analysis Beispiele

$4 x \cdot \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe $4 x \cdot \ln (x)$ als Funktion.

$f (x) = 4 x \cdot \ln (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 4 x \cdot \ln (x) d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x \cdot \ln (x) d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x$ .

$4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 6.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Schritt 6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Schritt 6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Schritt 6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Schritt 9.2

Schreibe $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ als $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ um.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 4 x \cdot \ln (x)$ .

$F (x) =$ $4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$