Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{{(x + 1)}^{2} - 1}{x^{2} + x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{2} - 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x + 1)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Schritt 1.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Schritt 1.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{{(0 + 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.3.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.3.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 1.1.3.4.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{{(x + 1)}^{2} - 1}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.2

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.3

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (x + 1) + 1 (x + 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.4.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.4.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.4.2

Addiere $x$ und $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x + 1 - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.10

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.10.1

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.10.2

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Schritt 1.3.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 2}{2 x + 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x + 2}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 2}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 2}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 2}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 2.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + 2}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 2}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 2}{2 \cdot 0 + 1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 + 2}{2 \cdot 0 + 1}$

Schritt 4.1.2

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{2}{2 \cdot 0 + 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{2}{0 + 1}$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{2}{1}$

Schritt 4.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$