Analysis Beispiele

$\sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$ als Funktion.

$f (x) = \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)} d x$

Schritt 4

Sei $u_{2} = \sin^{2} (x)$ . Dann ist $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = \sin^{2} (x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (x) \cos (x)$ um.

$2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 4.1.4.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Schritt 4.1.4.3

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Schritt 4.1.4.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin^{2} (x)$ .

$e^{\sin^{2} (x)} + C$

Schritt 7

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $e^{\sin^{2} (x)} + C$