Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{3}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{3}$ annähert.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für $x$ .

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für $x$ .

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.9.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.9.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{2 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.9.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$\frac{2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2} + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.9.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2} + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.9.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1^{2}}{2} + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.9.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\frac{1}{2} + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.9.1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.9.1.6

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.9.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 + \frac{1 + 3}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.9.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{- 2 + \frac{4}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.9.4

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.9.5

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{3}$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 1}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 1}$

Schritt 1.1.3.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 1}$

Schritt 1.1.3.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{3}$ annähert.

$\frac{0}{2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für $x$ .

$\frac{0}{2 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2}{2 \cos (x) - 1} = lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 1.3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ und $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \cos (x) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.8.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{- 2 \sin (x) + 0}$

Schritt 1.3.10

Addiere $- 2 \sin (x)$ und $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{- 2 \sin (x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{- 2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{3}$ annähert.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} - 4 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{3}$ annähert.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- lim_{x \to \frac{π}{3}} 4 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{3}$ annähert.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

Schritt 2.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

Schritt 2.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

Schritt 2.8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

Schritt 2.9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)}$

Schritt 2.10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 \cos (\frac{π}{3}) \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 \cos (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{3}) - 3 \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 \cos (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{3}) - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{3}$ für $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 4 \cos (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{3}) - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 \cos (\frac{π}{3}) \cdot \sin (\frac{π}{3}) - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 4 (\frac{1}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{3}) - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 2) \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{π}{3}) - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 2 \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{π}{3}) - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 \cdot \sin (\frac{π}{3}) - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot \sqrt{3} - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2.5

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3} - 3 \sin (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3} - 3 \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2.7

Kombiniere $- 3$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3} + \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2.9

Um $- \sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2.10

Kombiniere $- \sqrt{3}$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - 3 \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2.12

Schreibe $\frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - 3 \sqrt{3}}{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{- 2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2.12.2

Subtrahiere $3 \sqrt{3}$ von $- 2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{- 5 \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{π}{3})}$

Schritt 4.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{2} (- \frac{5 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}})$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 4.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$- \frac{1}{2} (\frac{- 5 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}})$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $\sqrt{3}$ aus $- 5 \sqrt{3}$ heraus.

$- \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3} \cdot - 5}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}})$

Schritt 4.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3} \cdot - 5}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}})$

Schritt 4.5.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} (\frac{- 5}{2} \cdot 2)$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} (\frac{- 5}{2} \cdot 2)$

Schritt 4.6.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} \cdot - 5$

Schritt 4.7

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot - 5$ .

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$5 (\frac{1}{2})$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{2}$

Dezimalform:

$2.5$