Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 1} \frac{3 x - 9 x^{2}}{2 \ln (- 1 - 2 x) - 2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} 3 x - 9 x^{2}}{lim_{x \to - 1} 2 \ln (- 1 - 2 x) - 2}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 1} 3 x - lim_{x \to - 1} 9 x^{2}}{lim_{x \to - 1} 2 \ln (- 1 - 2 x) - 2}$

Schritt 3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 9 x^{2}}{lim_{x \to - 1} 2 \ln (- 1 - 2 x) - 2}$

Schritt 4

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to - 1} x - 9 lim_{x \to - 1} x^{2}}{lim_{x \to - 1} 2 \ln (- 1 - 2 x) - 2}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 lim_{x \to - 1} x - 9 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}{lim_{x \to - 1} 2 \ln (- 1 - 2 x) - 2}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{3 lim_{x \to - 1} x - 9 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}{lim_{x \to - 1} 2 \ln (- 1 - 2 x) - lim_{x \to - 1} 2}$

Schritt 7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to - 1} x - 9 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}{2 lim_{x \to - 1} \ln (- 1 - 2 x) - lim_{x \to - 1} 2}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{3 lim_{x \to - 1} x - 9 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}{2 \ln (lim_{x \to - 1} - 1 - 2 x) - lim_{x \to - 1} 2}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{3 lim_{x \to - 1} x - 9 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}{2 \ln (- lim_{x \to - 1} 1 - lim_{x \to - 1} 2 x) - lim_{x \to - 1} 2}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{3 lim_{x \to - 1} x - 9 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}{2 \ln (- 1 \cdot 1 - lim_{x \to - 1} 2 x) - lim_{x \to - 1} 2}$

Schritt 11

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to - 1} x - 9 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}{2 \ln (- 1 - 2 lim_{x \to - 1} x) - lim_{x \to - 1} 2}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{3 lim_{x \to - 1} x - 9 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}{2 \ln (- 1 - 2 lim_{x \to - 1} x) - 1 \cdot 2}$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot - 1 - 9 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}{2 \ln (- 1 - 2 lim_{x \to - 1} x) - 1 \cdot 2}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot - 1 - 9 {(- 1)}^{2}}{2 \ln (- 1 - 2 lim_{x \to - 1} x) - 1 \cdot 2}$

Schritt 13.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot - 1 - 9 {(- 1)}^{2}}{2 \ln (- 1 - 2 \cdot - 1) - 1 \cdot 2}$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 - 9 {(- 1)}^{2}}{2 \ln (- 1 - 2 \cdot - 1) - 1 \cdot 2}$

Schritt 14.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 3 - 9 \cdot 1}{2 \ln (- 1 - 2 \cdot - 1) - 1 \cdot 2}$

Schritt 14.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$\frac{- 3 - 9}{2 \ln (- 1 - 2 \cdot - 1) - 1 \cdot 2}$

Schritt 14.1.4

Subtrahiere $9$ von $- 3$ .

$\frac{- 12}{2 \ln (- 1 - 2 \cdot - 1) - 1 \cdot 2}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 12}{2 \ln (- 1 + 2) - 1 \cdot 2}$

Schritt 14.2.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{- 12}{2 \ln (1) - 1 \cdot 2}$

Schritt 14.2.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{- 12}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 2}$

Schritt 14.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{- 12}{0 - 1 \cdot 2}$

Schritt 14.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 12}{0 - 2}$

Schritt 14.2.6

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{- 12}{- 2}$

Schritt 14.3

Dividiere $- 12$ durch $- 2$ .

$6$