Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (\frac{π}{6} - 5 x)$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \cos (\frac{π}{6} - 5 x) d x$

Schritt 3

Sei $u = \frac{π}{6} - 5 x$ . Dann ist $d u = - 5 d x$ , folglich $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \frac{π}{6} - 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\frac{π}{6} - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{6} - 5 x]$

Schritt 3.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{π}{6} - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{π}{6}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{6}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 3.1.2.2

Da $\frac{π}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{6}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$0 - 5$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$- 5$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \cos (u) \frac{1}{- 5} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \cos (u) (- \frac{1}{5}) d u$

Schritt 4.2

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{5}$ .

$\int - \frac{\cos (u)}{5} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{\cos (u)}{5} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{5} \int \cos (u) d u)$

Schritt 7

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{5} (\sin (u) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$- \frac{1}{5} \sin (u) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $\frac{π}{6} - 5 x$ .

$- \frac{1}{5} \sin (\frac{π}{6} - 5 x) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \cos (\frac{π}{6} - 5 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{5} \sin (\frac{π}{6} - 5 x) + C$