Analysis Beispiele

$e^{- {(t - 3)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - {(t - 3)}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- {(t - 3)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- {(t - 3)}^{2}$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [- {(t - 3)}^{2}]$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- {(t - 3)}^{2}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}]$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = t - 3$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $t - 3$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $t - 3$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- (2 (t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 ((t - 3) \frac{d}{d t} [t - 3]))$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (1 + \frac{d}{d t} [- 3]))$

Schritt 4.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) (1 + 0))$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3) \cdot 1)$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 (t - 3))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 t - 2 \cdot - 3)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$e^{- {(t - 3)}^{2}} (- 2 t + 6)$