Analysis Beispiele

${(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ .

$3 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 - 5 x^{3}}]$ .

$3 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} (5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 - 5 x^{3}}])$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 - 5 x^{3}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 6 - 5 x^{3}$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{(6 - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [6 - 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{(6 - 5 x^{3}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [6 - 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $6 - 5 x^{3}$ mit $1$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x \frac{d}{d x} [6 - 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 - 5 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}])}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}])}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.6

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x (- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 5 x \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 5 x (3 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 x \cdot x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Bewege $x^{2}$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 (x^{2} x)}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 (x^{2} x^{1})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 x^{2 + 1}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 6

Addiere $- 5 x^{3}$ und $15 x^{3}$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 + 10 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{6 + 10 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$ und $15$ .

$\frac{(6 + 10 x^{3}) \cdot 15}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2}$

Schritt 8

Bringe $15$ auf die linke Seite von $6 + 10 x^{3}$ .

$\frac{15 \cdot (6 + 10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ an.

$\frac{15 (6 + 10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{{(5 x)}^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 9.2

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$\frac{15 (6 + 10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15 \cdot 6 + 15 (10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 9.4

Vereine die Terme

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $15$ mit $6$ .

$\frac{90 + 15 (10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $10$ mit $15$ .

$\frac{90 + 150 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 9.4.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{90 + 150 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{25 x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 9.4.4

Mutltipliziere $\frac{90 + 150 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$ mit $\frac{25 x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$ .

$\frac{(90 + 150 x^{3}) (25 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2} {(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Schritt 9.4.5

Multipliziere ${(6 - 5 x^{3})}^{2}$ mit ${(6 - 5 x^{3})}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.4.5.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(90 + 150 x^{3}) (25 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2 + 2}}$

Schritt 9.4.5.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{(90 + 150 x^{3}) (25 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{4}}$

Schritt 9.4.6

Bringe $25$ auf die linke Seite von $90 + 150 x^{3}$ .

$\frac{25 (90 + 150 x^{3}) x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{4}}$

Schritt 9.5

Stelle die Terme um.

$\frac{25 x^{2} (90 + 150 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

Schritt 9.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.6.1

Faktorisiere $30$ aus $90 + 150 x^{3}$ heraus.

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Schritt 9.6.1.1

Faktorisiere $30$ aus $90$ heraus.

$\frac{25 x^{2} (30 (3) + 150 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

Schritt 9.6.1.2

Faktorisiere $30$ aus $150 x^{3}$ heraus.

$\frac{25 x^{2} (30 (3) + 30 (5 x^{3}))}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

Schritt 9.6.1.3

Faktorisiere $30$ aus $30 (3) + 30 (5 x^{3})$ heraus.

$\frac{25 x^{2} (30 (3 + 5 x^{3}))}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

$\frac{25 x^{2} \cdot 30 (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

Schritt 9.6.2

Mutltipliziere $30$ mit $25$ .

$\frac{750 x^{2} (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$